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2023-2025北京高一（上）期末数学汇编
事件的相互独立性
一、单选题
1．（2024北京延庆高一上期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个球其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机揽出2个球，每次摸出一个球，设事件第一次摸到红球，第二次摸到红球，两次都摸到红球，两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”.则下列说法错误的是（????）
A． B．R与G互斥但不对立
C． D．S与T相互独立
2．（2023北京昌平高一上期末）已知射击运动员甲击中靶心的概率为，射击运动员乙击中靶心的概率为，且甲?乙两人是否击中靶心互不影响.若甲?乙各射击一次，则至少有一人击中靶心的概率为（????）
A． B． C． D．
二、填空题
3．（2025北京西城高一上期末）已知事件相互独立，的对立事件为，若，则同时发生的概率为，两个事件至少有一个发生的概率为.
4．（2024北京人大附中朝阳学校高一上期末）有四张大小相同标有数字的卡片，如图所示．从这四张卡片中随机抽一张，令事件：“抽到卡片上有数字”，，则；已知命题：事件与相互独立，则为命题（用“真”“假”填空）
5．（2024北京延庆高一上期末）甲同学进行投篮练习，每次投中的概率都是，连续投3次.每次投篮互不影响.则该同学恰好只有第3次投中的概率为：该同学至少两次投中的概率为.
6．（2024北京昌平高一上期末）甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为.若三人各投篮一次，则甲、乙、丙三人都投中的概率为；至少有两人投中的概率为.
7．（2024北京西城高一上期末）某工厂在试验阶段生产出了一种零件，该零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若有且仅有一项技术指标达标的概率为，至少一项技术指标达标的概率为．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．则一个零件经过检测，为合格品的概率是．
三、解答题
8．（2025北京西城高一上期末）某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了400名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分.该公司将收集到的数据按照［20，40），［40，60），［60，80），［80，100］分组，绘制成评分频率分布直方图如下：
(1)为了更进一步了解A地区用户的不满意原因，将A地区抽取的400名用户作为一个总体，按照评分再用分层抽样的方法抽取40人进行面对面交流，那么应从评分在内的用户中抽取几人？
(2)从B地区随机抽取两名用户，且这两名用户评分独立，以频率估计概率，求这两名用户的评分恰好一个大于60分，另一个小于60分的概率；
(3)根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为，地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均值为，以及两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为，试比较和的大小.（结论不要求证明）
9．（2025北京延庆高一上期末）已知A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天），记录如下：
A组
11
12
13
14
15
16
17
B组
13
14
16
17
18
15
a
假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙.
(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；
(2)如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
(3)写出a为何值时，A，B两组病人康复时间方差相等.（结论不要求证明）
10．（2025北京海淀高一上期末）某市在旅游旺季时，为应对景区可能出现人流量过大的情况，规定：当人流量达到景区最大承载量的时，将对该景区采取局部限流措施；当人流量达到景区最大承载量的时，将对该景区采取完全限流措施.小明计划假期去该市甲、乙、丙三个旅游景区旅行，他调查了甲、乙、丙三个旅游景区在去年同期天的限流措施情况，见下表：
???????景区限流情况
景区累计天数
不限流
局部限流
完全限流
甲景区累计天数
天
天
天
乙景区累计天数
天
天
天
丙景区累计天数
天
天
天
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙三个景区限流情况相互独立.
(1)小明某天到甲景区旅游，估计小明遇到完全限流的概率；
(2)小明任选两天，分别到乙、丙两景区游览，估计小明在两个景区至少遇到一次限流（包括局部限流和完全限流）的概率；
(3)小明计划在一天内从甲、乙、丙三个景区中选择两个景区