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2023-2025北京高一（上）期末数学汇编
平面向量的运算
一、单选题
1．（2025北京西城高一上期末）已知中，分别为边的中点，且，则（????）
A．2 B． C．1 D．
2．（2025北京人大附中高一上期末）如图，在中，是边的中点，是上一点，且，则（????）
??
A． B． C． D．
3．（2025北京人大附中高一上期末）已知x，y为非零实数，向量，为非零向量，则“”是“存在非零实数x，y，使得”的（????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2025北京清华附中高一上期末）如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M为线段AB上的一点（含端点A，B），若，则的取值范围是（????）
A． B．
C． D．
5．（2024北京北师大附中高一上期末）设为非零向量，则“”是“”的（???）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2024北京延庆高一上期末）已知等边的边长为6，D在上且，E为线段上的动点，求的取值范围（????）
A． B．
C． D．
7．（2024北京西城高一上期末）已知为非零向量，且，，则“”是“存在实数，使得”成立的（????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2024北京西城高一上期末）如图，在正六边形中，（????）
A． B． C． D．
9．（2024北京西城高一上期末）设，，是非零向量，则“”是“”的（????）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10．（2024北京人大附中朝阳学校高一上期末）在平行四边形ABCD中，设对角线AC与BD相交于点O，则（????）
A． B． C． D．
11．（2023北京昌平高一上期末）如图，在矩形中，对角线交于点，则下列各式一定成立的是（????）
A．
B．
C．
D．
12．（2023北京丰台高一上期末）化简后等于（????）
A． B． C． D．
13．（2023北京西城高一上期末）已知为单位向量，则“”是“存在，使得”的（????）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
14．（2023北京西城高一上期末）正方形的边长为1，则（????）
A．1 B．3 C． D．
15．（2023北京西城高一上期末）如图，在平行四边形中，（????）
A． B． C． D．
16．（2023北京房山高一上期末）在中，D为BC的中点，则（????）
A． B．
C． D．
17．（2023北京八十中高一上期末）已知，是不共线的向量，，，那么，，三点共线的充要条件为（????）．
A． B． C． D．
二、填空题
18．（2025北京清华附中高一上期末）已知单位向量夹角为，若，则实数.
19．（2025北京延庆高一上期末）已知，，则的最大值为，最小值为.
20．（2025北京西城高一上期末）已知正方形的边长为，点满足，则．
21．（2023北京昌平高一上期末）已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则.
三、解答题
22．（2023北京昌平高一上期末）如图，在中，.设.
(1)用表示；
(2)若为内部一点，且.求证：三点共线.
参考答案
1．C
【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算求解即得.
【详解】在中，分别为边的中点，
由，得，即，则，
而，所以.
故选：C
2．A
【分析】设，根据图形由向量的加法法则运算即可．
【详解】设，因为是边的中点，所以，
所以，
，
又，所以，解得．
故选：A．
3．A
【分析】化简得到得到，共线且方向相同，存在非零实数x，y，使得得到，共线，得到答案.
【详解】，故，整理得到，即，
故，共线且方向相同，
存在非零实数x，y，使得，故，共线，
即“”是“存在非零实数x，y，使得”的充分不必要条件.
故选：A.
4．D
【分析】根据题意可得出，然后根据向量的运算得出，从而可求出答案.
【详解】因为点C为的中点，，所以，
所以
，
因为点M为线段AB上的一点，所以，所以，
所以的取值范围是,
故选：D.
5．C
【分析】由向量的垂直与模长结合充分必要条件的概念判断即可.
【详解】因为为非零向量，若，则，
所以，，则，
反之若，所以，
所以，由于为非零向量，故，
所以，“”是“”的充要条件.
故选：C.
6．B
【分析】设，，用表示出，然后平方转化为数量积的运算得出关于的函数，再由二次函数知识得最大值和最小值，从而