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2023-2025北京高一（上）期末数学汇编
平面向量的应用
一、单选题
1．（2025北京高一上期末）已知圆的半径为13，和是圆的两条动弦，若，，则的最大值是（???）
A．17 B．20 C．34 D．48
2．（2023北京东城高一上期末）中，“”是“”的（????）条件.
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分也非必要
二、填空题
3．（2024北京东城高一上期末）在中，写出不满足命题“若，则”的一组、的值为，.
三、解答题
4．（2024北京东城高一上期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边为轴的非负半轴.第一象限角的终边与单位圆交于，第二象限角的终边与单位圆交于.
(1)求的值；
(2)求的面积.（梯形的面积公式）
参考答案
1．C
【分析】利用向量的线性运算、绝对值三角不等式、垂径定理等知识进行分析，从而确定正确答案.
【详解】设是圆的圆心，连接，作，垂足分别为，
则分别是的中点，由勾股定理得，
，
，
故,
当反向时等号成立，
所以的最大值是.
故选：C
【点睛】方法点睛：
解决圆中向量问题，垂径定理是一个重要的工具，通过垂径定理找到弦的中点，将向量与圆心和中点联系起来，便于进行向量的运算和转化.
对于求向量和的模的最值问题，利用向量的线性运算将其转化为已知向量的运算形式，再结合绝对值三角不等式（当且仅当与同向或反向时取等号）来求解，是一种常用的方法.
2．C
【分析】根据给定条件，利用正弦定理及充要条件的定义判断即可.
【详解】在中，令内角所对的边分别为，
由正弦定理得，
所以”是“”的充要条件.
故选：C
3．（答案不唯一）（答案不唯一）
【分析】根据得到或，进而可得答案.
【详解】在中，若，则或，
所以或，
不满足命题“若，则”，只需要且即可.
故答案为：；（答案不唯一）
4．(1)；
(2)
【分析】（1）利用任意角的三角函数的定义即可求解；
（2）先利用任意角的三角函数定义求出的值，进而求出的值，，
再利用两角差的正弦公式求出，再由与的长，利用三角形的面积公式即可求出三角形的面积．
【详解】（1）由题意知，第一象限角的终边与单位圆交于,
第二象限角的终边与单位圆交于，
所以，，则解得或，且或，
因为在第一象限，在第二象限，所以，，
所以，，所以；
（2）在单位圆中，因为，，所以，
，又，由两角差的正弦公式得，
，
又，，.