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2023-2025北京高一（上）期末数学汇编
集合间的基本关系
一、单选题
1．（2025北京四中高一上期末）正交数组的概念在现代广泛应用.设集合.任取，若，则称与正交.若，且中任意两个元素均正交，则中元素个数最多是（????）
A．2 B．3 C．4 D．6
二、解答题
2．（2025北京密云高一上期末）已知集合A包含有个元素，．
(1)若，写出；
(2)写出一个，使得；
(3)当时，是否存在集合A，使得？若存在，求出此时的集合A，若不存在，请说明理由．
3．（2025北京大兴高一上期末）对于给定的集合，若存在满足如下条件的集合：①，若，则；②，若，则，则称为的共轭集合．
(1)若，求的存在共轭集合；
(2)若，，存在恰有个元素的共轭集合，求证：；
(3)若集合存在共轭集合，且，求集合中的元素个数的最大值．
4．（2025北京东城高一上期末）已知集合中都至少有个元素，且，满足：
①，且，总有；
②，且，总有．
(1)若集合，直接写出所有满足条件的集合；
(2)已知，
（ⅰ）若，且，求证：．
（ⅱ）求证：．
5．（2023北京昌平高一上期末）设有限集合，对于集合，给出两个性质：
①对于集合A中任意一个元素，当时，在集合A中存在元素，使得，则称A为的封闭子集；
②对于集合A中任意两个元素，都有，则称A为的开放子集.
(1)若，集合，判断集合为的封闭子集还是开放子集；（直接写出结论）
(2)若，且集合A为的封闭子集，求的最小值；
(3)若，且为奇数，集合A为的开放子集，求的最大值.
参考答案
1．C
【分析】不妨设，则中其他元素包含2个1和2个，最多共有6个元素，又，，三组元素不正交，所以6个元素中最多只有3个元素在中，即可得到答案.
【详解】不妨设，
由，则中最多包含6个元素，
又，，三组元素不正交，
所以6个元素中最多只有3个元素在集合中，如，
若，且中任意两个元素均正交，则中元素个数最多是.
故选：C.
2．(1)
(2)
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据集合的新定义，写出中的元素即得；
（2）根据条件分析集合中的元素性质即得；
（3）根据题意可得出不存在这样的集合，利用反证法证明即可.
【详解】（1）因，，
则都是中的元素，
故；
（2）取，此时，符合；
（3）当时，不存在集合A，使得，理由如下：
假设存在，且，则，
故为中7个不同的元素，
则，
由解得：，
此时与矛盾，故假设不成立，即不存在这样的集合.
【点睛】思路点睛：本题主要考查集合新定义的应用问题，属于难题.
解题应从集合新定义的规定入手，吃透其内涵，经常遵循从特殊到一般的思维方式，有时需要从反面角度考虑，运用反证法予以证明.
3．(1)；
(2)证明见详解；
(3)4.
【分析】（1）根据共轭集合的定义，以及，可知，再说明集合中没有第4个元素即可得解；
（2）设，假设，由条件①结合条件②推出矛盾，假设不成立，即可得证；
（3）由题意设，由条件①和条件②逐步分析得即可由得解.
【详解】（1）因为，由题意可得：，即，
此时，满足题意；
假设集合中还有第4个元素，则由题意知：
若，即或，此时，故不成立，
若，则，所以或4或8，这与元素的互异性矛盾，
综上所述，集合中没有第4个元素，所以的共轭集合.
（2）不妨设，恰有个元素的共轭集合为，
假设，即，则，，且，
由条件②，因为，故有，即，
所以，则.
因为集合有4个元素，故设，
若，则或，此时，矛盾.
若，则，所以或或，
即或或，这与集合元素的互异性矛盾.
故假设不成立，即.
（3）不妨设，的共轭集合为，.
所以，，又因为，所以.
同理.
若，由（2）可知：，从而.
对于任意的，有，即，
所以，解得.
若，即，，
故，
所以，
故，从而，
对任意的，必有，
即，
所以，解得.
综上所述，的最大值为4.
当时，，符合题意.
【点睛】思路点睛：在理解相关新概念、新定义时，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质，主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，此题的落脚点仍然是集合中元素的互异性，确定性，无序性.
4．(1)，，，；
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析.
【分析】（1）由条件证明，设设，由条件列方程求，由此可得结论；
（2）（ⅰ）由条件先证明，再证明，
（ⅱ）先证明中至少有两个正整数，设正整数，由此证明，同理证明出大于等于的正整数属于，结合（ⅰ）证明小于的正整数属于，由此完成证明.
【详解】（1）因为，又，且，总有，
所以，即，
设，由，且，总有，
可得，
所以或或，
但，
所以满足条件的集合有，，，；
（2）（ⅰ）又，，，，
由①知，，，
由②知，，
（ⅱ）因为中至少有个元素，