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2023-2025北京高一（上）期末数学汇编
集合的概念
一、单选题
1．（2024北京丰台高一上期末）记为非空集合A中的元素个数，定义.若，，且，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则等于（???）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023北京丰台高一上期末）已知集合，则（????）
A． B． C． D．
二、解答题
3．（2025北京丰台高一上期末）设集合其中，且．若集合同时满足下列两个条件，则称集合是集合的和谐子集．
条件①：；
条件②：对集合中任意三个元素不存在，使得．
(1)若集合，请判断集合，是否为集合的和谐子集（不需要说明理由）；
(2)若集合，集合是集合的和谐子集，且集合中的最小元素是3，求集合中元素个数的最大值：
(3)若集合，且集合是集合的和谐子集，求集合中元素个数的最大值．
4．（2024北京二中高一上期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点．对任意的点，定义．任取点，，记，，若此时成立，则称点，相关．
（1）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由；
①，；②，．
（2）给定，，点集．
（）求集合中与点相关的点的个数；
（）若，且对于任意的，，点，相关，求中元素个数的最大值．
5．（2024北京北师大附中高一上期末）对任意正整数，记集合均为非负整数，且，集合均为非负整数，且．设，，若对任意都有，则记．
(1)写出集合和；
(2)证明：对任意，存在，使得；
(3)设集合求证：中的元素个数是完全平方数．
6．（2023北京清华附中高一上期末）已知整数，集合，对于中的任意两个元素，，定义A与B之间的距离为．若且，则称是是中的一个等距序列．
(1)若，判断是否是中的一个等距序列？
(2)设A，B，C是中的等距序列，求证：为偶数；
(3)设是中的等距序列，且，，．求m的最小值．
参考答案
1．C
【分析】根据给定条件可得或，再根据集合中的方程的根的个数，对参数进行分类讨论即可求得实数的所有可能取值，即可得出结果.
【详解】由定义得，又，则或，
由方程，得或，
当时，方程只有一个实数根，
而方程有一根为0，则另一根必为0，，此时无实根，因此；
当时，必有，方程有两个不相等的实数根，
并且都不是方程的根，
显然方程有两个相等的实数根，且异于，
于是，解得或，
当时，方程的根为，满足题意，
当时，方程的根为，满足题意，
因此或，所以，.
故选：C
2．D
【分析】根据元素与集合关系，建立方程，可得答案.
【详解】由，则当时，；当时，；当时，，即.
故选：D.
3．(1)集合不是集合的和谐子集，集合是集合的和谐子集
(2)4
(3)1013．
【分析】（1）首先要理解和谐子集的定义，根据定义来判断给定集合是否为和谐子集；
（2）（3）对于求元素个数最大值，需要根据和谐子集的条件，通过分析元素之间的关系，逐步确定可以选取的元素.
【详解】（1）对于集合，其中，不满足和谐子集的条件②，
所以不是集合的和谐子集.
对于集合，满足和谐子集的条件①，
且对集合中任意三个元素，
不存在，使得，满足条件②，
所以是集合的和谐子集.
综上所得，集合不是集合的和谐子集，集合是集合的和谐子集.
（2）将集合中大于3的元素按照被3除所得的余数进行分类：
被3除所得的余数为0的元素有6：
被3除所得的余数为1的元素有4，7：
被3除所得的余数为2的元素有5，8．
因为，所以4与7，5与8不能同时属于集合，
否则，或者，与已知矛盾．
设为集合中元素的个数，则．
构造集合，
因为，所以集合是集合的和谐子集，
故集合中元素个数的最大值是4.
（3）不妨设集合中的最小元素是，
则存在唯一非负整数数对，使得，其中．
将集合中大于的元素按照被除所得的余数进行分类：
被除所得的余数为1的元素有；
被除所得的余数为2的元素有；…
被除所得的余数为的元素有；
被除所得的余数为的元素有；
……
被除所得的余数为的元素有；
被除所得的余数为0的元素有．
因为是集合中的最小元素，所以上述各行任意两个相邻元素中，至多有一个元素属于集合．
设为不大于的最大整数，
则在前行中，每行至多有个元素符合题意，
在剩下的行中，每行至多有个元素符合题意，
所以
构造集合，
因为，所以集合是集合的和谐子集，
故集合中元素个数的最大值是1013．
【点睛】关键点睛：此题涉及整数集合的新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，按照被将集合中大于的元素按照被除所得的余数进行分类，进行推理判断解决．
4．（1）①相关；②不相关.（2）（）个（）.
【分析】（1）根据所给定义，代入不等式化简变形可得对应坐标满足的关系，即可判断所给两个点的坐标是否符合定义要求.
（2）（）根据所给点集，依次判断在四个象限内满足的点个数，