第PAGE1页/共NUMPAGES1页
2023-2025北京高一（上）期末数学汇编
函数与方程、不等式之间的关系（人教B版）
一、单选题
1．（2025北京丰台高一上期末）已知定义在上的奇函数满足，且在区间上单调递减，则下列结论正确的是（???）
A．
B．是以2为周期的周期函数
C．在区间上单调递减
D．若关于的方程在区间上有两个实数根，分别记为，则
2．（2023北京十一学校高一上期末）函数的零点个数是（????）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
3．（2025北京北师大附中高一上期末）对于函数﹐若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”．已知函数
（1）若，则函数是“阶准偶函数”；
（2）若函数是“阶准偶函数”，则的取值范围是．
4．（2024北京丰台高一上期末）能说明“关于的不等式在上恒成立”为假命题的实数的一个取值为.
5．（2023北京四十四中高一上期末）关于的方程，给出下列四个命题:
①不存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；
③不存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.
其中正确命题的序号是.(写出所有正确命题的序号)
三、解答题
6．（2025北京清华附中高一上期末）已知二次函数，其中.
(1)若的最小值为，求的值；
(2)若有两个不同的零点，求证：.
7．（2025北京丰台高一上期末）设函数，其中．
(1)当时，求在区间上的最大值和最小值：
(2)若在区间上不单调，求的取值范围；
(3)若在区间内存在零点，求的取值范围．
8．（2025北京北师大附中高一上期末）设函数，关于x的不等式的解集为．
(1)当时，求解集S；
(2)是否存在实数a，使得？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
(3)求函数的零点．
9．（2024北京西城高一上期末）已知函数，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知，使存在并且唯一，并完成下列问题.
(1)求的值；
(2)已知函数有两个不同的正数零点.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）若，求的值.
条件①：；条件②：，；条件③：，.
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.
参考答案
1．D
【分析】对于选项A，定义在上的奇函数，则.令得出判定；对于选项B，要通过已知条件推导出函数的周期；对于选项C，根据函数的周期性和已知区间的单调性来判断指定区间的单调性；对于选项D，利用函数的对称性来确定方程两根的和.
【详解】对于A，由于函数是定义在上的奇函数，则.
由，取可得，故A错误；
对于B，因为是定义在上的奇函数，则，
又因，则.
用替换可得，故有.
所以是以为一个周期的周期函数，故B错误；
对于C，已知在上单调递减，因是奇函数，故在上也单调递减，即在上单调递减.
由于的周期是，那么在上的单调性与上的单调性相同.
由可知的图象关于直线对称，
所以在上的单调性与上的单调性相反，即在上单调递增，所以在上单调递增，故C错误；
对于D，因的图象关于直线对称，且周期可取为，故的图象关于直线对称.
若关于的方程在区间上有两个实数根，，
根据函数图象的对称性可知，则，故D正确.
故选：D.
2．D
【分析】分解因式求解方程的根即可.
【详解】函数的零点，即方程的实数根.
由解得，或.
故函数的零点个数是.
故选：D
3．2
【分析】（1）根据“阶准奇函数”的定义，可将问题转化为的根的问题；
（2）根据“阶准偶函数”定义，分，，三种情况分析即可得答案.
【详解】①当时，函数，的取值为，的取值为，即，根据题意得,解得或，
则集合中恰有个元素，
故是“阶准偶函数”
②根据题意，函数是“阶准偶函数”，
则集合中恰有个元素，
当时,是“阶准偶函数”，不合题意；
当时，函数的图像如图①所示，
根据“阶准偶函数”的定义得的可能取值为，的可能取值为，
由题意知，
所以解得或
要使得集合中恰有个元素，则需要满足，
即
当时，函数的图像如图②所示，
根据“阶准偶函数”的定义得的可能取值为或，为，
由题意知，
当，解得不符合题意
当，解得或，
要使得集合中恰有个元素，则需要满足.
综上，若函数是“阶准偶函数”，则的取值范围是.
故答案为：2；范围是.
【点睛】解题的关键是根据新定义的“阶准偶函数”，将问题转化为研究函数，可能取何值，求出方程的解，通过分类讨论根据方程的解的个数确定的取值范围.
4．（答案不唯一）
【分析】将关于的不等式在上恒成立问题转化为，从而得到的取值范围，命题为假命题时的取值范围是真命题时的补集，即可得的取值.
【详解】若不等式在上恒成立，则，
解得，
所以该命题为假命题时