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2023-2025北京高一（上）期末数学汇编
函数的应用（一）
一、单选题
1．（2024北京房山高一上期末）血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（????）
（精确到0.1，参考数据：）
A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9
2．（2024北京五十七中高一上期末）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是
A．75,25 B．75,16 C．60,25 D．60,16
二、解答题
3．（2025北京西城高一上期末）两地相距520km，货车从A地匀速行驶到B地，全程限速100km/h．已知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速的平方成正比，比例系数为．
(1)把货车的全程运输成本（单位：元）表示为车速（km/h）的函数；
(2)为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？
4．（2023北京西城高一上期末）设函数的定义域为D，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称I为的一个“区间”．
性质1：对任意，有；
性质2：对任意，有．
(1)分别判断区间是否为下列两函数的“区间”（直接写出结论）；
①；?????②；
(2)若是函数的“区间”，求m的取值范围；
(3)已知定义在上，且图象连续不断的函数满足：对任意，且，有．求证：存在“区间”，且存在，使得不属于的所有“区间”．
参考答案
1．B
【分析】依据题给条件列出关于时间t的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数.
【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时，
由题意可得，，两边同时取自然对数并整理，
得，，
则，则给氧时间至少还需要小时
故选：B
2．D
【详解】由题意可得：f（A）==15，所以c=15而f（4）==30，
可得出=30故=4，可得A=16
从而c=15=60
故答案为D
3．(1)，；
(2)答案见解析.
【分析】（1）根据给定条件，求出货车每小时的运输成本及行驶时间即可得函数关系.
（2）借助对勾函数单调性探讨最小值，即可得解.
【详解】（1）依题意，货车每小时的运输成本的可变成本为，固定成本为400元，行驶时间小时，
所以，.
（2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，
而，则当，即时，，取得最小值；
当，即时，，取得最小值，
所以当时，货车应以km/h的速度行驶，全程运输成本最小；
当时，货车应以km/h的速度行驶，全程运输成本最小.
4．(1)①是，②不是；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据新定义直接判断即可得出结论；
（2）根据是函数的“区间”确定其满足性质1，据此分类讨论求二次函数值域，检验即可得解；
（3）由所给函数性质分析出满足性质2，转化为不恒成立，存在“区间”，再构造函数，证明有唯一零点，且.
【详解】（1）对①，当，，满足性质1，是函数的“区间”，
对②，当时，，当时，，故不满足性质1,2，
不是函数的“区间”.
（2）记，，注意到，
因此，若为函数的“区间”，则其不满足性质②，必满足性质①，即.
当时，在上单调递增，且，
所以不包含于，不合题意；
当时，，符合题意；
当时，，所以，不合题意.
综上，.
（3）对于任意区间，记，
依题意，在上单调递减，则.
因为，所以，
即S的长度大于的长度，故不满足性质①.
因此，如果为的“Q区间”，只能满足性质②，即，
即只需存在使得，或存在使得.
因为不恒成立，所以上述条件满足，所以一定存在“Q区间.
记，先证明函数有唯一零点；
因为在上单调递减，所以在上单调递减.
若，则为的唯一零点；
若，则，即，
由零点存在定理，结合单调性，可知存在唯一，使得；
若，则，即，
由零点存在定理，结合单调性，可知存在唯一，使得；
综上，函数有唯一零点，即，
已证的所有“Q区间”都满足条件②，所以.
【点睛】关键点点睛：根据所给函数的新定义，理解应用新定义，是解决问题的关键，其中注意分类讨论思想、特殊化思想的应用，属于难题.