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2023-2025北京高一（上）期末数学汇编
函数的概念及其表示
一、单选题
1．（2025北京丰台高一上期末）已知函数，对，用表示中的最大者，记为．若恒成立，则（???）
A．的最大值是 B．的最小值是
C．的最大值是 D．的最小值是
2．（2025北京东城高一上期末）如图，函数的图象为折线段，则不等式的解集是（????）
A． B．
C． D．
3．（2024北京东城高一上期末）已知是各项均为正整数的函数，且，对与有且仅有一个成立，则的最小值为（????）
A．21 B．20 C．19 D．18
4．（2024北京海淀高一上期末）已知函数若存在非零实数，使得成立，则实数a的取值范围是（???）
A． B．
C． D．
5．（2024北京东城高一上期末）下列函数中，与是同一函数的是（????）
A． B． C． D．
6．（2024北京昌平高一上期末）向一个给定的容器（如图所示）中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水的体积相等，记容器内水面的高度y随时间t变化的函数为，则以下函数图象中，可能是的图象的是（???）
B．
C． D．
7．（2023北京十一学校高一上期末）下列函数，是同一函数的是（????）
A．与 B．与
C．与 D．与
8．（2023北京十一学校高一上期末）已知函数，则等于（????）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2025北京石景山高一上期末）函数满足，给出下列三个结论：
①；
②；
③．
其中所有正确结论的序号是．
10．（2025北京东城高一上期末）函数的定义域为.
11．（2024北京东城高一上期末）已知函数，对于任意实数，记的最大值为，
（ⅰ）若，则；
（ⅱ）若，则的取值范围是．
12．（2024北京平谷高一上期末）已知函数，那么当时，函数取得最小值为．
13．（2024北京昌平高一上期末）函数的定义域为.
14．（2024北京四中高一上期末）函数的定义域为.
15．（2023北京十二中高一上期末）已知函数可用列表法表示如下，则的值是．
1
2
3
16．（2023北京密云高一上期末）混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用．在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在上的函数，对于，令，若使得，且当，时，，则称是的一个周期为的周期点．给出下列四个结论：
①若，则是周期为的周期点；
②若，则是周期为的周期点；
③若，则存在周期为的周期点；
④若，则，都不是的周期为的周期点．
其中所有正确结论的序号是．
17．（2023北京门头沟高一上期末）已知，则.
18．（2023北京门头沟高一上期末）已知是上的严格增函数，那么实数的取值范围是．
19．（2023北京丰台高一上期末）函数=的定义域为
三、解答题
20．（2025北京朝阳高一上期末）对于给定的正整数，设集合，集合，是的非空子集且满足，．若对于任意，在集合中有唯一确定的数，使得为偶数，则记，并称为从集合到集合的“函数”．
(1)当时，若集合，写出集合，并判断从集合到集合是否存在“函数”？说明理由；
(2)若集合至少包含一个奇数，且为从集合到集合的“函数”，求证：存在，使得；
(3)若为从集合到集合的“函数”，且对于任意，都有，求满足条件的集合的所有可能．
21．（2023北京平谷高一上期末）如图，四边形是高为2的等腰梯形．
??
(1)求两条腰OC，AB所在直线方程；
(2)记等腰梯形位于直线左侧的图形的面积为．
①当时，求图形面积的值；
②试求函数的解析式，并画出函数的图象．
22．（2023北京延庆高一上期末）已知集合是集合的子集，对于，定义．任取的两个不同子集，，对任意．
(1)判断是否正确？并说明理由；
(2)证明：．
参考答案
1．A
【分析】根据题设可得时，恒成立，故可求参数的取值范围.
【详解】因为时，，故需时，恒成立，
故即，所以的最大值是，
故选：A.
2．D
【分析】根据图象求出函数的解析式，解不等式求结论.
【详解】函数的图象为折线段，且,
故可设，
且，，，
所以，，
所以，
当时，不等式可化为，，
即，故（舍去），
当时，不等式可化为，，
即，故.
所以不等式的解集是.
故选：D.
3．A
【分析】由递推关系分析的取值，再求的最小值即可.
【详解】由已知得，所以，
若，因为，所以，
故，所以；
若，则；
综上可知，任意，都有，.
若，则，
当时，，若，则，与条件相矛盾；
当时，，若，则，与条件相矛盾；