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2023-2025北京高二（上）期末数学汇编
向量的数量积与三角恒等变换章节综合（人教B版）
一、单选题
1．（2025北京五中高二上期末）对于非零向量，“”是“与方向相反”的（????）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
2．（2025北京五中高二上期末）已知向量，在方向上的投影向量为，则（???）
A． B． C．6 D．12
二、填空题
3．（2025北京五中高二上期末）已知单位向量，满足，则的最小值为.
4．（2023北京清华附中高二上期末）若，且，则，的最大值为.
三、解答题
5．（2025北京人大附中高二上期末）已知正整数，，为的k元子集，记为非零向量，若的元素个数为，则称为的不重子集．
(1)已知集合，，，这三个集合中，集合______是的不重子集；若该集合新增m个元素后，仍为的不重子集，则m的最大值为______，此时新增的这m个元素为______；
(2)若为的不重子集，且，，求k的最大值；
(3)若为的不重子集，则k的最大值为______，直接在平面直角坐标系中给出一个使得k最大的的例子．
6．（2025北京延庆高二上期末）已知函数.
(1)若，当时，求的最大值和最小值及相应的；
(2)若函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，求的值和的单调递增区间.
7．（2023北京清华附中高二上期末）已知函数的最大值与最小值之和为0．
(1)求的值以及的最小正周期；
(2)若函数在区间上是增函数，求实数的最大值．
参考答案
1．A
【分析】由两边同时平方判断充分性即可，反之与方向相反则不一定得到，然后由充分必要条件的概念判断即可.
【详解】，所以，
所以，即，
所以，即，所以与方向相反，且.
反之，若与方向相反，则或，
故选：A
2．A
【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求解即得.
【详解】依题意，在方向上的投影向量为，则，而，
所以.
故选：A
3．
【分析】首先利用数量积模的公式，转化为二次函数求最值.
【详解】
，当时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：
4．2
【分析】由即可求，结合已知条件可得在过点垂直于的直线上，而在以为圆心，1为半径的圆周上，应用数形结合法判断的最大时的位置，即可确定最大值.
【详解】由，可得，
由题设，在过点垂直于的直线上，而在以为圆心，1为半径的圆周上，若，如下图示，
∴，要使的最大，只需共线，在上的投影最短，
由图知：共线时，的最大为.
故答案为：2，.
【点睛】关键点点睛：由已知条件将向量转化为图形形式，数形结合法分析的最大时动点的位置，即可求最大值.
5．(1)B；2；，
(2)5
(3)8，图形见解析
【分析】（1）根据不重子集的定义以及元素之间的不重复性即可得到答案.
（2）根据条件可判断不能存在两个点横坐标相同且纵坐标相同可得答案.
（3）根据不会出现两点之间的向量相等排除性的即可得到结果.
【详解】（1）由题意得，根据题干得：若A为不重子集，则,
其所含的元素个数为4，不是，故A不是的不重子集.
若B为不重子集，则,故B是的不重子集；
若C为不重子集，则,元素个数为4，不等于6，故C不是的不重子集；
的最大值为2，证明如下：
如图，由题意已知点A,点B,点E已经在不重子集里，在从剩余的6个点里最多选择几个，
显然点C是不能选的，这样,若选择点Q，则剩余的点一定都不选，
会出现相等元素，此时；若选择点D，则点F，点H，点Q，点G不选
(若选G则有)，此时;若选点F,则点D，点G，点Q不选，
点H可选，此时；若选G点，剩余点都不选；若选H，同上，此时，
故m最大值为2，增加的两个元素为，.
（2）k的最大值5，证明如下：
由题意知，中点的横、纵坐标均只有5种取值．
一方面，若，由抽屉原理知，中必存在两个横坐标相同的点A，B，两个纵坐标相同的点C，D，
则，且，矛盾.另一方面，可以构造的满足题意的不重子集.
（3）k的最大值为8，可以构造的不重子集．
根据向量不相等可排除性的选点，得到如下图所示，最大值为8.
【点睛】关键点点睛：解题关键在于理解和掌握不重子集定义，借助向量的不重复性，排除不合题意的点即可得到相应的答案.
6．(1)最大值，，最小值，.
(2)
【分析】（1）由，倍角公式和辅助角公式可得，在结合可得；
（2）先根据题意得到，由可得其单调递增区间.
【详解】（1）
，
当时，，
由，可得，
当时，取最大值，此时，
当时，取最小值，此时.
（2）因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
所以，且，所以，
由，得，
的单调递增区间为.
7．(1)，的最小正周期；
(2)