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2023-2025北京高二（上）期末数学汇编
三角函数章节综合
一、填空题
1．（2024北京海淀高二上期末）已知函数在区间上的最大值为2，则正数的最小值为．
二、解答题
2．（2025北京延庆高二上期末）已知函数.
(1)若，当时，求的最大值和最小值及相应的；
(2)若函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，求的值和的单调递增区间.
3．（2025北京东城高二上期末）已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式；
(2)将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的最大值和最小值.
4．（2023北京清华附中高二上期末）已知函数的最大值与最小值之和为0．
(1)求的值以及的最小正周期；
(2)若函数在区间上是增函数，求实数的最大值．
参考答案
1．
【分析】
令，得到，结合三角函数的性质得到，计算即可.
【详解】对于，令，则，
因为，所以，
结合的图象可知：，解得：.
故的最小值为.
故答案为：.
2．(1)最大值，，最小值，.
(2)
【分析】（1）由，倍角公式和辅助角公式可得，在结合可得；
（2）先根据题意得到，由可得其单调递增区间.
【详解】（1）
，
当时，，
由，可得，
当时，取最大值，此时，
当时，取最小值，此时.
（2）因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
所以，且，所以，
由，得，
的单调递增区间为.
3．(1)
(2)最小值；最大值.
【分析】（1）根据题意结合五点法求函数解析式；
（2）根据图象变换可得，以为整体，结合正弦函数的有界性分析求解.
【详解】（1）由图可知：函数的周期，又，
所以.
又因为，即，
则，即.
且，可知，所以.
（2）由的图象向右平移个单位长度后得，
因为，令，
当，即时，取最小值；
当，即时，取最大值.
4．(1)，的最小正周期；
(2).
【分析】（1）先对函数化简变形，然后利用正弦函数的性质求出其最值，从而列方程可求出的值，再利用周期公式可求出的最小正周期；
（2）由，得，则由题意可得，求出的范围，从而可求出其最大值.
【详解】（1）
，
所以的最大值为，最小值为，
因为的最大值与最小值之和为0，
所以，得，
所以，
所以的最小正周期为.
（2）由，得
，所以，
因为函数在区间上是增函数，
所以，解得.
所以实数的最大值为.