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2023-2025北京高二（上）期末数学汇编
空间几何体（人教B版）
一、单选题
1．（2025北京海淀高二上期末）正三棱柱的所有棱长都为，分别是的中点，则的长是（???）
A． B．
C． D．
2．（2025北京怀柔高二上期末）金刚石是天然存在的最硬的物质，这是因为金刚石的碳原子在空间中的排列方式决定的.如图1，组成金刚石的每一个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个所有棱长都相等的正三棱锥的4个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示.即图2中，则的余弦值为（????）
??
A． B． C． D．
3．（2024北京昌平高二上期末）《九章算术》中的方亭指的是正四面形棱台体建筑物，正四面形棱台即今天的正四棱台.如图，某方亭的上底面与下底面的边长分别为4和8，每个侧面与下底面夹角的正切值均为，则方亭的侧面积为（????）
A． B． C． D．
4．（2023北京东城高二上期末）已知正四棱锥的高为4，棱的长为2，点为侧棱上一动点，那么面积的最小值为（????）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2025北京101中高二上期末）中国国家博物馆中的清代仿官窑四方委角象耳瓶向我们展示了我国古代工匠的高超技艺：瓶唇口，直颈，颈两侧饰对称象耳，方腹委角，高圈足外撇……其中“委角”是一种工艺术语，指的是将方形器物的尖角抹平，向内收缩，如同把角折起来．如图，该瓶的瓶身相当于是在长方体中抹去八个形状与大小都相同的三棱锥．在长方体中，，，E为的中点，F与G分别是棱与棱上的点，且满足.已知委角之后的瓶身体积是长方体体积的，则长方体的体对角线长度为．
6．（2024北京西城高二上期末）两个顶点朝下竖直放置的圆锥形容器盛有体积相同的同种液体（示意图如图所示），液体表面圆的半径分别为3，6，则窄口容器与宽口容器的液体高度的比值等于.
7．（2024北京海淀高二上期末）作为我国古代称量粮食的量器，米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味．右图是一件清代老木米斗，可以近似看作正四棱台，测量得其内高为，两个底面内棱长分别为和，则估计该米斗的容积为．
8．（2023北京顺义高二上期末）现代几何学用曲率概念描述几何体的弯曲程度．约定：多面体在每个顶点处的曲率等于减去该点处所有面角之和（多面体每个侧面的内角叫做多面体的面角），一个多面体的总曲率等于该多面体各顶点处的曲率之和．例如：正方体在每个顶点处有3个面角，每个面角的大小是，所以正方体在各顶点处的曲率为．按照以上约定，四棱锥的总曲率为；若正十二面体（图1）和正二十面体（图2）的总曲率分别为和，则0（填“”，“”或者“=”）．
参考答案
1．A
【分析】取的中点为，连接，结合勾股定理即可求解；
【详解】
取的中点为，连接，
由正三棱柱的性质易知：平面,
又面，
所以，又，
所以，
故选：A
2．D
【分析】将正三棱锥放入正方体中，利用余弦定理计算即可.
【详解】将正三棱锥放入正方体中，由题意为正方体中心，如图，
??
设正方体棱长为，则，，
在中，由余弦定理可得，
故选：D
3．B
【分析】利用侧面与下底面的夹角的正切值均为，求得正棱台的高，进而求得其斜高，结合侧面积公式，即可求解.
【详解】设上底面为，下底面为，取的中点，的中点，连接，
设上底面的中心为，下底面的中心为，连接，
过点作于点，如图所示，
因为，
所以即为侧面与下底面夹角的平面角，即，
又因为，
所以，所以，
所以，
所以方亭的侧面积为.
故选：B.
4．D
【分析】根据正四棱锥的性质得到平面，，然后根据，，得到的范围，最后根据三角形面积公式求面积的最小值即可.
【详解】
取中点，连接、、，
因为四棱锥为正四棱锥，所以平面，，
因为为中点，所以，
因为平面，所以，
因为，，所以，，
在直角三角形中，当时，最小，为，当点和点重合时，最大，最大为4，所以，
，所以当时，的面积最小，为.
故选：D.
5．4
【分析】由题意结合柱体和锥体的体积公式建立关于x的方程，求出x即可计算求解长方体的体对角线长度.
【详解】由题长方体体积为，，
所以抹去的八个形状与大小都相同的三棱锥的体积之和为，
所以，
所以长方体的体对角线长度为.
故答案为：4.
6．4
【分析】根据圆锥体积公式，利用半径比以及体积相等即可得.
【详解】设窄口容器的液体高度为，宽口容器的液体高度为，
由液体体积相同及液体表面圆的半径分别为3，6可得，
即可得，所以.
故答案为：4
7．
【分析】先画出正四