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2023-2025北京高二（上）期末数学汇编
解三角形章节综合（人教B版）
一、单选题
1．（2024北京海淀高二上期末）在中，，则等于（????）
A． B． C．9 D．16
二、填空题
2．（2025北京北师大附中高二上期末）在中，，，则的一个取值可以为.
三、解答题
3．（2025北京延庆高二上期末）在中，为钝角，，．
(1)求；
(2)若，求的面积．
4．（2025北京五中高二上期末）在中，．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．
5．（2024北京海淀高二上期末）在锐角中，．
(1)求；
(2)求周长的最大值．
6．（2023北京清华附中高二上期末）在中，角所对的边分别为，现有下列四个条件：①；②；③；④．
(1)条件①和条件②可以同时成立吗？请说明理由；
(2)请从上述四个条件中选择三个条件作为已知，使得存在且唯一，并求的面积．
参考答案
1．C
【分析】利用正弦定理可得，进而得到与夹角的余弦值，代入数量积公式即可求解.
【详解】在中，由正弦定理可得，
所以，即，
令与的夹角为，则，
所以，
故选：C
2．（答案不唯一）
【分析】先由题设得，且，再结合余弦定理求出的取值范围即可得解.
【详解】因为，，
所以，所以，且，
所以，且，
所以.
故答案为：（答案不唯一）.
3．(1)
(2)
【分析】（1）由二倍角公式以及正弦定理计算可得；
（2）结合余弦定理和三角形面积公式计算可得面积.
【详解】（1）由题意得，因为为钝角，
得，则，
由正弦定理得，
解得，
因为为钝角，则.
（2）当时，由余弦定理，
得，即，解得，
则.
4．(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长.
【详解】（1）解：因为，则，由已知可得，
可得，因此，.
（2）解：由三角形的面积公式可得，解得.
由余弦定理可得，，
所以，的周长为.
5．(1)
(2)3
【分析】（1）利用正弦的二倍角公式化简求值即可；
（2）解法一：利用正弦定理可得，结合正弦两角差公式和辅助角公式求解即可；解法二：利用余弦定理可得，再根据均值不等式求最值即可.
【详解】（1）因为锐角，，所以，
所以，所以，.
（2）解法一：由正弦定理可得，
所以
，
在锐角中，，
所以当，即时，取最大值，
.
解法二：由余弦定理可得，
代入得，所以，
因为，所以，，
当且仅当时等号成立，
所以.
6．(1)不可以，理由见详解.
(2)若选①③④时，存在且唯一，此时面积为；
若选②③④时，存在且唯一，此时面积为.
【分析】（1）由余弦定理化简①，由余弦函数的性质化简②，再由与矛盾，从而得出结论；（2）结合（1）中的条件进行分析，再由余弦定理得出，利用三角形面积公式得出面积.
【详解】（1）对于①：因为，
所以，
.
对于②：，
由可得，
因为，所以，与矛盾
故①②两个条件不可以同时成立.
（2）因为①②两个条件不可以同时成立，所以只能选①③④或②③④
选①③④时，因为，，
所以由可得，
解得（舍）
故
所以若选①③④时，存在且唯一，此时面积为.
选②③④时，因为，，
所以由可得
故，
所以若选②③④时，存在且唯一，此时面积为.