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2023-2025北京高二（上）期末数学汇编
集合（人教B版）
一、单选题
1．（2024北京海淀高二上期末）设集合，，则等于（????）
A． B． C． D．
2．（2024北京二中高二上期末）设集合，集合，，则（????）
A． B．
C． D．
3．（2023北京海淀高二上期末）已知集合，，则（????）
A． B． C． D．
4．（2023北京人大附中高二上期末）若集合，或，则（????）
A． B． C． D．
5．（2023北京人大附中高二上期末）已知集合，，则
A． B．
C． D．
6．（2023北京人大附中高二上期末）已知集合，则
A． B． C． D．
7．（2023北京人大附中高二上期末）若集合，，则
A． B．
C． D．
8．（2023北京人大附中高二上期末）已知集合，，则
A． B． C． D．
二、解答题
9．（2025北京延庆高二上期末）设正整数，若由实数组成的集合满足如下性质，则称为集合：对中任意四个不同的元素，均有.例如，判断是否为集合：当时，此时；当时，此时；当时，此时.所以是集合.
(1)判断集合和是否为集合；（直接写出答案，结论不需要证明）
(2)若集合为集合，求出所有集合，并说明理由；
(3)若集合为集合，求证：中元素不能全为正实数．
10．（2025北京八中高二上期末）已知集合．对集合A中的任意元素，定义，当正整数时，定义（约定）．
(1)若，求和；
(2)若满足且，求的所有可能结果；
(3)是否存在正整数n使得对任意都有？若存在，求出n的所有取值；若不存在，说明理由．
11．（2023北京延庆高二上期末）给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质．
(1)判断集合是否具有性质？说明理由；
(2)判断是否存在具有性质的集合，并加以证明．
12．（2024北京朝阳高二上期末）设正整数，若由实数组成的集合满足如下性质，则称为集合：对中任意四个不同的元素，均有.
(1)判断集合和是否为集合，说明理由；
(2)若集合为集合，求中大于1的元素的可能个数；
(3)若集合为集合，求证：中元素不能全为正实数.
13．（2023北京顺义高二上期末）对于正整数集合（，），如果去掉其中任意一个元素（，2，…，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为平衡集．
(1)判断集合是否为平衡集，并说明理由；
(2)若集合A是平衡集，并且为奇数，求证：集合A中元素个数n为奇数；
(3)若集合A是平衡集，并且为奇数，求证：集合A中元素个数．
参考答案
1．B
【分析】根据集合和集合交集的概念求解即可.
【详解】由题意可得集合，，
所以，
故选：B
2．A
【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为即可.
【详解】由题意可得，则，选项A正确；
，则，选项B错误；
，则或，选项C错误；
或，则或，选项D错误；
故选：A.
3．A
【分析】根据交集的定义直接求解即可.
【详解】因为，，
所以，
故选：A.
4．A
【分析】根据集合的交集运算，即可求得答案.
【详解】由题意集合，或，
则,
故选：A
5．C
【详解】试题分析：由，得，选C.
【考点】集合的交集运算.
【名师点睛】1.首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义)，是数集还是点集，如集合，，三者是不同的．
2.集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因忽略互异性而出错．
3.数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn图；对连续的数集间的运算，常利用数轴；对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用．
4.空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽略空集是任何集合的子集．
6．C
【详解】试题分析：由题意得，，故选C.
【考点】集合的交集运算
【名师点睛】1.首先要弄清构成集合的元素是什么（即元素的意义），是数集还是点集，如集合，，三者是不同的．
2.集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因忽略互异性而出错．
3.数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn图；对连续的数集间的运算，常利用数轴；对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用．
4.空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空