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2023-2025北京高二（上）期末数学汇编
常用逻辑用语（人教B版）
一、单选题
1．（2024北京石景山高二上期末）已知命题p：“”，则为（????）
A． B．
C． D．
2．（2023北京西城高二上期末）设，则“”是“直线与直线平行”的（?????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2023北京人大附中高二上期末）“成等差数列”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2023北京人大附中高二上期末）设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题
5．（2023北京人大附中高二上期末）能说明“若f（x）f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，则f（x）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是．
三、解答题
6．（2025北京东城高二上期末）设n为正整数，集合，对于集合中的任意元素和，记．设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，，都有，则称集合具有性质．
(1)当时，若，，求，的值；
(2)已知正整数，集合为的子集．求证：“集合具有性质”的充要条件为“对中任意两个不同的元素，都有，且”；
(3)给定不小于2的偶数n，设具有性质，求集合中元素个数的最大值．
参考答案
1．C
【分析】根据命题的否定的定义判断．
【详解】特称命题的否定是全称命题．
命题p：“”，的否定为：．
故选：C．
2．A
【解析】计算直线平行等价于或，根据范围大小关系得到答案.
【详解】直线与直线平行，则，或，
验证均不重合，满足.
故“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.
3．A
【详解】，，，成等差数列,而,但1,3,3,5不成等差数列,所以
“，，，成等差数列”是“”的充分不必要条件,选A.
点睛：充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“?”为真，则是的充分条件．
2．等价法：利用?与非?非，?与非?非，?与非?非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若?，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．
4．D
【详解】若，则，故不充分；若，则，而，故不必要，故选D.
考点：本小题主要考查不等式的性质，熟练不等式的性质是解答好本类题目的关键.
5．y=sinx（答案不唯一）
【详解】分析：举的反例要否定增函数，可以取一个分段函数，使得f（x）f（0）且（0，2］上是减函数.
详解：令，则f（x）f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，但f（x）在［0，2］上不是增函数.
又如，令f（x）=sinx，则f（0）=0，f（x）f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，但f（x）在［0，2］上不是增函数.
点睛：要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合中的一个特殊值，使不成立即可.通常举分段函数.
6．(1)，
(2)证明见解析
(3)
【分析】(1)利用的运算规则进行运算即可；
(2)利用已知条件中的的运算规则从充分性与必要性两个方面进行证明；
(3)设具有性质的集合的元素个数最大值为，先求当时元素个数的最大值，再从两方面去求解得到及，从而得到，进而求得.
【详解】（1）因为，，
由定义可知：，
．
（2）①若集合具有性质，
任取中不同元素，，令，，
有
．
由的定义可知，对任意正整数n，都有，
所以有，．
②若对中任意两个不同的元素，，
都有，，
那么
．
综上，结论成立．
（3）设具有性质的集合的元素个数最大值为，
下证：，，其中n为偶数．
当时，则，
由于，，，
则，，中至多有一个属于，
当时，元素个数取到最大值为2．即．
一方面，若集合，分别具有性质，，
令集合，其中，
对中任意两个不同的元素，，
都有，
由于，因此．
另一方面，设具有性质的集合元素个数取到最大值为，
设和为的两个不同元素，
则有
．
因此，，
由于，因此．
综上，，n为偶数．
所以．
【点睛】关键点睛：本题的关键是对题目中的运算以及性质进行理解.