2024?2025学年吉林省高三下学期4月期中联考数学检测试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则=（）
A． B． C． D．
2．若，则（????）
A． B． C． D．2
3．已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（????）
A． B． C． D．
4．已知向量满足，，，则向量，的夹角为（????）
A． B． C． D．
5．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定：驾驶人血液中的酒精含量大于（或等于）毫克/毫升，小于毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于饮酒驾车；含量大于（或等于）毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于醉酒驾车.假设某驾驶员一天晚上点钟喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了毫克/毫升.如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量以每小时的速度减少，那么他次日上午最早几点（结果取整数）开车才不构成酒驾？（参考数据：，）（????）
A．8点 B．9点 C．10点 D．11点
6．已知，，则（????）
A．1 B． C． D．
7．在直三棱柱中，，，且，则该三棱柱的外接球的体积为（????）
A． B． C． D．
8．已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（）
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究?开发用于模拟?延伸和扩展人的智能的理论?方法?技术及应用系统的一门新的技术科学.很多学校已经推出基于的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史?关键技术及其在科学研究?社会发展中的高效应用，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新.某探究小组利用解答了50份高考模拟试卷，收集其准确率，整理得到如下频率分布直方图，则下列说法正确的是（????）
A．
B．估计准确率的分位数为
C．估计准确率的平均数为
D．估计准确率的中位数为
10．函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，然后向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（????）
A．
B．的解析式为
C．是图象的一个对称中心
D．的单调递减区间是，
11．已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线C上，若，则（????）
A． B．以为直径的圆与x轴相切
C．F的坐标为 D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知等差数列的公差不为零，且成等比数列，，则.
13．已知的展开式的二项式系数和为64，各项系数和为729，则其展开式的常数项为.
14．已知函数恰有2个极值点，则实数a的取值范围为.
四、解答题（本大题共5小题）
15．记的内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求；
(2)若，的面积为，求边上的高.
16．如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
17．为宣扬中国文化，某校组织古诗词知识比赛.比赛分为两阶段，第一阶段为基础知识问答，每位选手都需要回答3个问题，答对其中至少2个问题，进入第二阶段，否则被淘汰；第二阶段分高分组、和低分组，第一阶段3个问题都答对的选手进入高分组，共回答4个问题，每答对一个得20分，答错不得分；第一阶段答对2个问题的选手进入低分组，共回答4个问题，每答对一个得10分，答错不得分.第一阶段，每个问题选手甲答对的概率都是；第二阶段，若选手甲进入高分组，每个问题答对的概率都是，若选手甲进入低分组，每个问题答对的概率都是.
(1)求选手甲第一阶段不被淘汰的概率；
(2)求选手甲在该次比赛得分数为40分的概率；
(3)已知该次比赛选手甲进入了高分组，记选手甲在该次比赛中得分数为，求随机变量的分布列和期望值.
18．已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)当时，，求的取值范围．
19．已知双曲线的离心率为2，其右焦点到一条渐近线的距离为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于不同的两点，，且以线段为直径的圆经过点．
①证明：直线过定点；
②已知点，判断双曲线上是否存在点，使为的重心，若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
1．【正确答案】D
【详解】由题得，，所以，
故选D．
2．【正确答案】D
【详解】因，，则，
则，.
故选D.
3．【正确答案】D
【详解】记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件，
根据题意可得，
，
所以
.
故选D.
4．【正确答案】C
【详解】由题意可得，
设向量，的夹角为，
因为，即，
解得，所以向量，的夹角为.