2024-2025学年甘肃省张掖市高台县高三下学期阶段性评估数学试卷（二模）
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（????）
A． B． C． D．
2．“”是“”的（????）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知等差数列的前项和为，若，则（????）
A．4 B．60 C．68 D．52
4．学校放三天假，甲?乙两名同学打算去敬老院做志愿者，甲同学准备在三天中随机选一天，乙同学准备在前两天中随机选一天，则甲乙选择同一天的概率是（????）
A． B． C． D．
5．若函数在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（????）
A． B． C． D．
6．设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的取值范围是（????）
A． B．
C． D．
7．对任意，都有，且不恒为0，函数，则（????）
A．0 B．2 C．4 D．6
8．已知，向量，且的最小值为，则的最小值为（????）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．有一组样本数据，，，，其平均数，中位数，方差，极差分别记为，，，，由这组数据得到新样本数据，，，，其中，其平均数，中位数，方差，极差分别记为，，，，则（????）
A． B．
C． D．
10．若，记为不超过的正整数中与互质（两个正整数除1之外，没有其余公因数）的正整数的个数，例如，则下面选项正确的是（????）
A．
B．
C．若是质数，则
D．
11．在正三棱台中，分别是线段上的点，是上、下底面的中心，是底面内一点，下列结论正确的是（????）
A．
B．若平面，则点的轨迹长等于
C．
D．当时，四点构成的图形为直角梯形
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知点为抛物线上一点，且点到抛物线的焦点的距离为3，则.
13．设复数满足，则.
14．的最大值为.
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图1，在中，，，、两点分别在、上，使.现将沿折起得到四棱锥，在图2中.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成角的正切值.
16．已知函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)若对恒成立，求实数的取值范围.
17．在中，角所对的边分别是，且满足
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的最大值；
(3)求的取值范围.
18．甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为.
(1)求和；
(2)求证：是等比数列；
(3)求的数学期望（用表示）.
19．已知圆为坐标原点，过圆上一动点作圆的切线交圆于两点，直线交圆于两点.
(1)四边形的面积是否是定值，直接给出结果，不必证明；
(2)对平面上所有点进行如下变换，（即：原坐标在这个变换下的新坐标为），圆、圆、直线分别变换成，点变换成.
①写出的方程，与是否相切，证明你的结论；
②四边形的面积是否是定值，请说明理由.
答案
1．【正确答案】C
【详解】，
，
.
故选C.
2．【正确答案】A
【详解】或，
或，但或，
故“”是“”的充分而不必要条件，A正确，BCD错误.
故选A
3．【正确答案】D
【详解】，∴，∴，
故选D.
4．【正确答案】C
【详解】甲同学有3种选择，乙同学有2种选择，故共有种选择，
其中甲乙选择同一天的情况有2种，故甲乙选择同一天的概率为.
故选C.
5．【正确答案】B
【详解】的定义域为，，
因为函数在其定义域内单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，所以.
故选B.
6．【正确答案】B
【详解】点在上，则，且或，
因，则，，
则，
解得，故或.
故选B.
7．【正确答案】B
【详解】令，可得，所以，
令，可得，
因为不恒为0，所以，所以是奇函数，
因为，
所以.
故选B.
8．【正确答案】C
【详解】延长至，使，则，
所以共线，又的最小值为，且，
所以为等腰三角形，当且仅当时取得最小值，则，
??
所以是等边三角形，取的中点，则，当且仅当时取等号，
所以，即的最小值为.
故选C.
9．【正确答案】ABC
【详解】对于A选项，由平均数的性质可得，A对；
对于B选项，不妨设，
若为奇数，设，则数据，，，的中位数为，
若，新样本数据由小到大依次为，，，，
这组数据的中位数为；
当，新样本数据由小到大依次为，，，，
这组数据的中位数为；
若为偶数，同理可知，，B对；
对于C选项，由方差的性质可得，C对；
对于D选项，若，是，，，中最大值和最小值，
当时，则为，，，中的最大值，
为，，，中的最小值，
此时，；
当时，则