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2024-2025学年北京市东城区第五十中学分校高二下学期期中考试
数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=xx+1≤0，B={x?2≤x1}，则
A.{xx1} B.{x∣?2≤x1}
C.xx≥?2
2.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是
A.y=x12 B.y=2?x
3.复数i2?i
A.1+2i B.1?2i C.?1+2i D.?1?2i
4.已知函数f(x)=sinx+1，则f′(π3
A.?12 B.12 C.3
5.函数fx的定义域为R，导函数f′x的图象如图所示，则函数fx(????)
A.无极大值点，有四个极小值点 B.有三个极大值点，两个极小值点
C.有两个极大值点，两个极小值点 D.有四个极大值点，无极小值点
6.已知函数f(x)=x+cosx，则下列选项正确的是(????)
A.f(2)f(π)f(e) B.f(π)f(e)f(2)
C.f(e)f(2)f(π) D.f(2)f(e)f(π)
7.若(2x?1)4=a4
A.40 B.41 C.?40 D.?41
8.某校合唱团参加红五月合唱比赛，合唱团选出6个人站在第一排，其中甲、乙作为领唱需要站在第一排的正中间，则这6个人的排队方案共有(????)
A.24种 B.48种 C.120 D.240种
9.设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时，f′(x)g(x)+f(x)g′(x)0.且g(?3)=0，则不等式f(x)g(x)0的解集是(????)
A.(?3,0)∪(3,+∞) B.(?3,0)∪(0,3)
C.(?∞,?3)∪(3,+∞) D.(?∞,?3)∪(0,3)
10.若0x1x
A.x1lnx1x2lnx2????????????????????????????????????
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数fx=1x?1+
12.求下列函数的导数：
若f(x)=xex，则f′(x)=
若f(x)=ln(2x+1)，则f′(x)=??????????
13.在x?ax6的展开式中，x4的系数为12，则a的值为
14.如图，函数y=f(x)的图象在点P(4,f(4))处的切线方程是y=?2x+9，则f(4)=_??????????__，f′(4)=??????????．
15.设函数f(x)=ex+ae?x(a为常数).若f(x)为奇函数，则a=??????????；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是??????????
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.在(2x2
(1)求各项的二项式系数之和；
(2)求第3项的系数；
(3)求x3
(4)求常数项；
(5)求二项式系数最大的项．
17.2025年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神第二部：战火西岐》、《熊出没·重启未来》4部影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部观看．
(1)如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？
(2)如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《熊出没·重启未来》，那么共有多少种不同的选择方法？
(3)如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？
18.已知函数f(x)=x3
(1)函数y=f(x)的图象在点(0,?f(0))处的切线方程；
(2)求f(x)的单调递增区间．
19.已知函数f(x)=x3?3
(1)当a=2时，求曲线f(x)在(1,f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．
20.已知椭圆C:x2a2+y23=1(a0)的焦点在
(1)求椭圆C的离心率和?DEF的面积；
(2)已知直线y=kx+1与椭圆C交于A，B两点，过点B作直线y=3的垂线，垂足为G，判断直线AG是否与y轴交于定点？若是，求出该定点：若不是，请说明理由．
21.已知函数fx=
(Ⅰ)求函数fx
(Ⅱ)求证：当x∈0,+∞时，f
(Ⅲ)当x0时，若曲线y=fx在曲线y=ax2+1的上方，求实数
参考答案
1.A?
2.A?
3.A?
4.B?
5.C?
6.D?
7.B?
8.B?
9.D?
10.C?
11.0,1∪1,+∞
12.ex+xe
13.?2?
14.1
；?2?
15.?1
；?∞,0
16.(1)(2x2
(2)因为T