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2024-2025学年江苏省沭阳如东中学高一下学期期中学情检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知z=3?i1?i，则
A.2 B.3 C.5
2.已知?ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，若A:B:C=1
A.1:1:4 B.1:1
3.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB=(2,4)，AC=(1,3)，则BD=
A.(?2,?4) B.(?3,?5) C.
4.2cos10
A.1 B.2 C.3
5.已知向量a→=(2,1)，b→=(3,4)，则b?a
A.(2,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(?2,?1)
6.函数f(x)=cos2x?6cosx+1
A.?92,+∞ B.?92,?
7.设a，b是两个非零向量，且(a?3b)⊥(7a+5b)
A.π6 B.π3 C.2π
8.已知tan2α+3tan
A.?36 B.36
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z，则下列说法正确的是(????)
A.若|z|=1，则z=±1 B.若z2=?1，则z=±i
C.若z2+z
10.点M在?ABC所在平面内，下列说法正确的是(????)
A.若MA+MB+MC=0，则M为?ABC的重心
B.若AB?AC0，则?ABC为锐角三角形
C.若AM=1
11.中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即S=14c2a2?c2+a2?b2
A.?ABC的最长边长为14 B.?ABC的三个内角满足A+B=12C
C.?ABC的三条高的和为8
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z=i2020+1?i2若
13.四边形ABCD内接于圆O，AB//CD，AB=2AD=8，若AO=xAB+yAD且x+2y=1
14.已知在△ABC中，AB=AC，∠ABC的角平分线与边AC交于M点，线段AB的中垂线过点M，则ABAM=??????????，cosC=
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分
已知向量a=(2,1)，b
(1)设k∈R，若向量a+b与a?k
(2)设k∈R，当a?kb取得最小值时，求向量a与
16.(本小题15分
已知π2
(1)求tanα的值
(2)若P(7,1)在角β终边上，求cos(α+2β)的值．
17.(本小题15分)
在?ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a
(1)求角B；
(2)若边BC=4,△ABC的面积为23,角A的平分线交边BC于点D，求
18.(本小题17分
复兴中学有一直径为8米的半圆形空地，现计划在该空地上安装一个自动喷灌装置，喷灌装置位于半圆周上的C处，其喷灌的有效覆盖区域为三角形CEF，点E，F在直径AB上(如图所示).其中张角∠ECF=
??
(1)若喷灌的有效覆盖区域面积为43，求
(2)设∠ACE=α，求喷灌的有效覆盖区域的最大面积．
19.(本小题17分
对任意两个非零向量m,n，定义新运算：m⊕n=msin
(1)若非零向量a,b满足a=2b，且
(2)若向量a=t,4,
(3)已知非零向量a,b满足a=kb(k是正整数)，向量a,b的夹角θ∈π6,
参考答案
1.C?
2.D?
3.B?
4.C?
5.A?
6.C?
7.C?
8.B?
9.BCD?
10.AC?
11.ABD?
12.2+i
13.7
14.5+12
15.解：(1)因为a=(2,1)，b
所以a+b=(1,4)
又向量a+b与a?kb互相平行，所以
所以a?kb=(1,4)
(2)因为a?k
所以a
=
所以当k=110时
此时a?110b=
a?
所以设向量a与a?kb夹角θ，则
所以向量a与a?kb夹角的余弦值为
16.解：(1)由题意可得，sinα+
则sinα+
因sin2α+cos2α=1
因π2απ，则
则tanα=
(2)因点P(7,1)在角β终边上，则cos
则cos2β=2
sin2β=2
则cos(α+2β)=cos
17.解：(1)asin
所以B2=π6或B2=5π
所以B=π
(2)因为BC=4,△ABC的面积为2
所以12
由余弦定理得，cosB=
cosA=
由S?ABC=
解得AD=3
18.解