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2024-2025学年上海市宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学高一下学期期中诊断调研数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知a．b都是单位向量，以下命题正确的是(????)
A.a?b=1 B.a?b=a?b
2.在ΔABC中，sinA=sinB是ΔABC
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知点Ptanα,cosα在第二象限，则π?α是第(
A.一 B.二 C.三 D.四
4.已知函数的部分图像如图所示，则函数y=f(x)的表达式可能是(????)
A.f(x)=sintanx B.f(x)=tansinx
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.若log2x=3，则x=??????????．
6.函数y=2cos2x的最小正周期是??????????．
7.指数函数y=(m?1)x在R上是严格增函数，则实数m的取值范围是??????????．
8.向量a→=(2,λ),b→=(1,3)，若a//b
9.若点P(?2,1)是角α终边上的一点，则sinα=??????????．
10.在?ABC中，点D是边BC上一点，|DC|=2|BD|，设AB=a,AC=b，用a
11.若3sinα?cosαsinα+
12.已知圆心角为π3的扇形面积等于3π，则该扇形的弧长为??????????．
13.已知α,β都是锐角，cosα=13，cos(α+β)=?3
14.函数f(x)=sinx+cosx,x
15.已知向量a=cosθ,sinθ，b=1,
16.若存在实数a和正整数n，使得函数f(x)=cos2x?asinx在区间0,nπ内恰有1000个零点，则所有满足条件的正整数n
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知全集U=R，集合A=x∣|x?2|≤1,B=
18.(本小题14分
已知向量a=(2,2),
(1)求b在c上的数量投影；
(2)求满足a=mb+n
(3)若向量d满足d⊥a+b，且d
19.(本小题14分
在锐角△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且2asin
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC面积为3，求边a的最小值．
20.(本小题14分)
吴淞口灯塔AE采用世界先进的北斗卫星导航遥测遥控系统，某校数学建模小组测量其高度H(单位：m)，如示意图，垂直放置的标杆BC的高度?=3m，使A，B，D在同一直线上，也在同一水平面上，仰角∠ABE=α，
(1)该小组测得α?β的一组值为α=51.83°，β=47.33°，请据此计算
(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到灯塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精确度.若灯塔的实际高度为20.1m，试问d为多少时，α?β最大？
21.(本小题14分
已知函数f(x)=asin
(1)当a=b=0,?c=1时，求函数
(2)当a=1,?c=0时，设g(x)=f(x)?1，且函数g(x)的图像关于直线x=π6对称，将函数y=g(x)的图像向右平移π6
(3)当a=b=1,?c=0时，若实数m,?n,?p使得mf(x)+nf(x?p)=1对任意实数
参考答案
1.D?
2.A?
3.C?
4.D?
5.8?
6.π?
7.m
8.6?
9.5
10.23
11.12
12.2
13.4+6
14.[?1,
15.3?
16.1001,1000,9
17.解：令|x?2|≤1，解得1≤x≤3，则A=[1,3]，
令x?3x+10，解得?1
故A∩
18.(1)因为b=(2,?1)，c=(4,1)，所以
因此，b在c上的数量投影bcos
(2)由题意，a=(2,2)，m
又a=mb+nc，所以
(3)由题意，a+b=(4,1)
因为d⊥a+b
解得x=2y=?8或x=?2
19.(1)由正弦定理得，2sinAsin
故sinA=32，又因为锐角?ABC
(2)由题意得S=12bc
由余弦定理得a2
即a2
当且仅当b=c=2时等号成立，故amin
?20.(1)由Rt?ADE可得：
同理可得AB=H
因为AD?AB=DB，
所以Htan
可得H=?
(2)由题意可得d=AB，
则tanα=
所以tan(α?β)=
而d+H(H??)
当且仅当d=
故当d=18.5时，tan(α?β)
因为0β
所以d=18.5时，α?β最大．
21.(1)解：当a=b=0，c=1时，可得函数f(x)=sin
令2kπ?π
(2)解：当a=1，c=