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湖南省长沙市铁路一中2024-2025学年高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z1=6?5i，z2
A.9?3i B.9+3i
2.已知向量a=(1,2)，b=
A.5 B.2 C.3 D.4
3.如图是由哪个平面图形旋转得到的(????)
A. B. C. D.
4.已知圆锥的底面半径是1，高是2，则这个圆锥的体积为(????)
A.2π3 B.π C.4π
5.半径为R的球内接一个正方体，则该正方体的体积是(????)
A.22R3 B.43π
6.已知tan(α+β)=3
A.65 B.7 C.17
7.把函数y=sin2x图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得图像向右平移π4
A.sin(x?π4) B.sin
8.在△ABC中，点P是AB上一点，且P为靠近A点的三等分点，Q是BC中点，AQ与CP交点为M，又
A.12
B.23
C.34
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图所示，观察下列四个几何体，其中判断正确的是(????)
A.①是棱台 B.②是圆台 C.③是四面体 D.④是棱柱
10.已知复数z=5?4
A.z的实部是5 B.|z|=41
C.
11.函数f(x)=sin(ωx
A.ω=2
B.φ=π6
C.f(x
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.i为虚数单位，计算1?i2?
13.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=30°，b=1，
14.若f(α)=12t
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(1,3)，b=(?2,1)．
(1)求向量
16.(本小题15分)
如图，这是某建筑大楼的直观图，它是由一个半球和一个圆柱组合而成的.已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面(过圆柱上、下底面圆的圆心连线的平面)ABCD是边长为6的正方形．
(1)
17.(本小题15分)
设函数f(x)=2sin(2x?π6)
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3bcosA=3asinB．
(1)求A；
(
19.(本小题17分)
已知O为坐标原点，对于函数f(x)=asinx+bcosx，称向量OM=(a,b)为函数f(x)的相伴特征向量，同时称函数f(x)为向量OM的相伴函数．
(1)设g(x)=cos(x+π4)
答案和解析
1.【答案】A?
【解析】解：由z1=6?5i，z2=3+2
2.【答案】B?
【解析】解：向量a=(1,2)，b=(x,4)，
由b=2a
3.【答案】D?
【解析】【分析】
本题考查旋转体的结构特征，旋转体的轴截面的形状．
利用所给的几何体是由上部的圆锥和下部的圆台组合而成的，从而得到轴截面的图形．
【解答】
解：图中所给的几何体是由上部的圆锥和下部的圆台组合而成的，
故轴截面的上部是直角三角形，下部为直角梯形构成，
故选D．
4.【答案】A?
【解析】解：由题意知，圆锥底面积为S=π×12=π，圆锥的高h=2，
则圆锥的体积为V
5.【答案】D?
【解析】解：∵半径为R的球内接一个正方体，设正方体棱长为a，
正方体的对角线过球心，可得正方体对角线长为：3a=2R，
可得a=2R3，
∴正方体的体积为a3
6.【答案】C?
【解析】解：因为tan(α+β)=3，tan(α?β)=2
7.【答案】A?
【解析】解：把函数y=sin2x图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，可得函数y=sinx的图像，
再把所得图像向右平移π4个单位长度，得到f(
8.【答案】C?
【解析】解：因为C、M、P三点共线，点Q是BC中点，
所以CM=λCA+(1?λ)CQ=λCA+12(1?λ)CB，
又因为P是AB上靠近点A三等分点，
所以CP=CA
9.【答案】CD
【解析】解：由题意可知①是多面体，不是棱台；
②不满足圆台的定义；
③是三棱锥，即四面体；
④满足棱柱的定义．
故选：CD．
利用圆台，棱台，棱锥，棱柱的定义判断即可．
10.【答案】AB
【解析】解：复数z=5?4i的实部是5，故A正确；
由z=5?4i，得|z|=52+(?4)2=41，故
11.【答案】AB
【解析】解：由题意得，最小正周期T=π，所以ω=2πT=2，所以A正确；
因为f(0)=12，所以sinφ=12，
因为0φπ，
所以φ=π6或5π6，