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上海市杨浦区复旦大学附中2024-2025学年高二（下）期中数学试卷（A卷）
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.圆C1：(x+1
A.外离 B.外切 C.相交 D.内切
2.已知直线l1：ax+y?1=0，直线l2：x
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要
3.某彗星绕太阳运动的轨道是椭圆Γ，太阳的中心是Γ的一个焦点，若该彗星在绕太阳运动的过程中，距太阳表面距离的最大值为ρ，最小值为μ，太阳半径为r，则椭圆Γ的离心率为(????)
A.ρ?μρ+μ+2r
4.已知曲线Γ的对称中心为O，如果对于曲线Γ上的任意一点A，都存在Γ上另外的两点B、C，使得△ABC的垂心为O，则称Γ为“自垂曲线”.现有如下两个命题：
①任意双曲线都是“自垂曲线”；
②任意椭圆都是“自垂曲线”．
则下列判断正确的是
A.①是真命题，②是真命题 B.①是假命题，②是真命题
C.①是真命题，②是假命题 D.①是假命题，②是假命题
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.直线y=33x
6.圆x2+y2?
7.已知向量n=(366,a)为直线3x
8.已知椭圆Γ：x24+y22=1的左焦点为F，A、
9.在平面直角坐标系中，O为原点，P为曲线x3+y3=8上一动点，则线段
10.双曲线y22?x2
11.已知P(x0,y0)为圆(
12.若椭圆x220+y24=1的一条弦AB
13.已知P为抛物线y2=4x上一点，点P到直线l1：4x?3y+6=0的距离为d1，点
14.若曲线Γ：x4+y4+
15.圆C：x2+(y?r)2=r2
16.直线l与双曲线Γ：x2a2?y2b2=1(a0,b0)的左、右两支分别交于A、B两点，与双曲线的两条渐近线分别交于C、D两点(A、
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线Γ：y2=2px的焦点为F(1,0)，A、B是抛物线Γ上两个不同的点．
(1)求抛物线Γ的方程；
(2)若直线AB斜率为1，且过点F，求线段AB的长度；
18.(本小题14分)
如图所示，A1、A2分别为椭圆Γ：x24+y23=1的左、右顶点，直线l的方程为x+2y?4=0.过原点O作直线l的平行线与椭圆Γ交于M、N两点．
(1)求证：直线l与椭圆Γ
19.(本小题14分)
学校在操场开展春季运动会，如图所示，操场由长100米、宽60米的长方形ABCD及两个以长方形宽为直径的半圆M、半圆N拼接而成，整个操场关于中轴线OO′对称.现有P、Q两位同学分别在左右两个半圆弧上值勤，并要求P、Q的距离尽可能远．
(1)P、Q两位同学应处在什么位置？请说明理由；
(2)若要在操场边界上关于中轴线对称的两点R、S处分别放置两个音箱(R、S两点在线段AB上)，要求两个音箱间的距离尽可能大，同时P、Q两位同学听到两个音箱传来的声音时间差不超过0.2秒(声音在空气中的传播速度为340米
20.(本小题18分)
如图所示，平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点P(x,y)是角α终边上的点(异于原点)，设|OP|=r，将点P绕O逆时针旋转θ后得到P′(x′,y′)．
(1)求证：x′=xcosθ?ysinθy′=xsinθ+ycosθ；
(2)已知曲线Γ1是函数y=
21.(本小题18分)
在平面直角坐标系中，对于△ABC及直线l，记d1(A)、d1(B)、d1(C)分别表示A、B、C到l的距离，且S1=[d1(A)]2+[d1(B)]2+[d1(C)]2，对于给定的△ABC，记S1的最小值为m
答案和解析
1.【答案】C?
【解析】解：圆C1：(x+1)2+(y?1)2=4与圆C2：(x?2)2+(y
2.【答案】A?
【解析】解：若直线l1：ax+y?1=0，直线l2：x+ay?2=0平行，则a2=1，即a=1或a=?1，
当a=?1时，l1：?x+y?1=0，直线l2：
3.【答案】A?
【解析】解：设椭圆的焦距为2c，长轴长为2a，则由已知可得ρ=a+c?r，μ=a?c?r，
两式相加可得ρ+μ=2a?2r，两式相减可得ρ?μ=
4.【答案】B?
【解析】解：椭圆是“自垂曲线”.设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a2≠b2,a20,b20)，令A(x0,y0)，
则b2x02+a2y02=a2b2设B(x1,y1)，C(x2,y2)由O是△ABC的重心，
知x1+x2=?x0y1+y2=?y0，直线BC过点M(?x02,?y02)，
当y0=0时，若A(a,0)，直线y=?a2与椭