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重庆市拔尖强基联盟（西南大学附属中学校等）2024-2025学年高二下学期3月联合考试数学试卷及答案
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知函数是的导数，则（????）
A． B．0 C．1 D．
2．已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数（????）
A．1 B． C．2 D．4
3．已知数列是等比数列，若，则（????）
A． B．3 C． D．
4．已知定点，点在抛物线上，则的最小值为（????）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．已知为定义在上的奇函数，，且当时，有，则使成立的的取值范围为（????）
A． B．
C． D．
6．在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过作平面，使得，则直线与平面所成角的正弦值为（????）
A． B． C． D．
7．已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的最小值为（????）
A． B． C． D．
8．已知双曲线，若上存在点满足的外心为，则的离心率范围为（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设等差数列的前项和为，公差为，已知，则下列选项正确的有（????）
A． B．
C．时，的最小值为15 D．最小时，
10．在平面直角坐标系中，圆，直线与圆相交于不同的两点，且弦的中点为，则下列选项正确的有（????）
A．弦长的最大值为
B．实数的取值范围为
C．若，则
D．存在定点，使得为定值
11．已知函数存在两个极值点，则下列选项正确的有（????）
A． B．
C．若，则 D．
三、填空题
12．若直线与曲线相切，则实数的值为.
13．如图，在长方体中，，，为底面的中心，则点到直线的距离为.
??
14．已知焦点为的抛物线与相交于两点，若的面积为8，则.
四、解答题
15．在中，角的对边为，已知，且，.
(1)求角的大小：
(2)求的周长.
16．如图，在四棱锥中，，且，平面平面.
(1)求证：平面；
(2)若为棱中点，求平面与平面夹角的余弦值.
17．已知函数.
(1)当时，若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围；
(2)若对，不等式恒成立，其中为自然对数的底数，求的最小值.
18．已知在平面直角坐标系内，点到直线的距离是到点的距离的倍，设点的轨迹为曲线，
(1)求曲线的方程，
(2)已知上一动点，过且垂直于的直线交曲线于两点，线段的中点为.
①证明：共线：
②若曲线上存在点，使得，且.求四边形面积的取值范围.
19．已知数列满足：，正项数列满足：，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项的和；
(3)记为数列的前项积，证明：
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《重庆市拔尖强基联盟（西南大学附属中学校等）2024-2025学年高二下学期3月联合考试数学试卷及答案》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
A
B
B
C
C
D
AC
ABD
题号
11
答案
ACD
1．A
【分析】求导代入求解即可.
【详解】，所以.
故选：A
2．C
【分析】根据给定条件及椭圆标准方程形式，列式计算得解.
【详解】由椭圆的一个焦点坐标为，得.
故选：C
3．A
【分析】根据已知条件，利用等比数列的通项公式表达后计算求解.
【详解】
故选：A.
4．B
【分析】根据抛物线的定义和性质，结合图象求出的最小值.
【详解】抛物线，即，其焦点为，准线方程为，
易知在抛物线的内部，点即为焦点，
如图所示，过点作于点，则，即，
显然当三点共线时最小，最小值为，
即的最小值为4，
故选：B.
5．B
【分析】构造函数，可得当时，进而可得在上为增函数，进而可得当时，，当时，，再由函数为奇函数可得.
【详解】令，当时，，
所以，函数在上为增函数，且，
故当时，，得，
当时，，得，
又为定义在上的奇函数，
故由可解得或，
故选：B
6．C
【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，取中点，平面即为平面再根据线面角的向量法求解即可.
【详解】如图，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
取中点，因为是棱的中点，故，
又平面，平面，则平面，
故平面即为平面
，
，
设平面的一个法向量为，即，
令则，即为平面的一个法向量，
线面角的正弦值为.