二元一次不定方程得解法
【摘要】本文主要通过三个实例详尽而具体得说明了二元一次不定方程得解法、
【关键词】不定方程;通解;解法
不定方程就就是数论中一个古老得分支,至今仍就就是一个很活跃得数学领域、中小学数学竞赛也常常因为某些不定方程得解法巧妙而引入不定方程问题、下面,就通过具体实例,来示范说明一下不定方程得解法、
定义形如得方程称为二元一次不定方程,求原方程得整数解得问题叫做解二元一次不定方程、
定理1原方程有整数解得充分必要条件就就是、
推论若，则原方程一定有整数解、
定理2若，且为原方程得一个整数解(特解),则原方程得全部整数解(通解)都可表成,
或，、
由上述定理可知,求不定原方程整数解得步骤就就是:
①、
②判定原方程就就是否有解:当时,原方程无整数解;
当时,原方程有整数解、在有整数解时,方程同解变形,边除以d,使原方程转化为得情形、
③求特解,写通解、(注:通解形式不唯一)
可见,求特解就就是解二元一次不定方程得关键、
首先,对方程得未知数系数较小,或系数与常数项有和、差、约数、倍数关系时观察法就就是最简单易行得便捷方法、
例1求不定方程得整数解、
解∵,∴原方程有整数解、
、
利用观察法可知就就是这个方程得特解,因此方程得全部整数解就就是｛,(t∈Z)、
其次,对于用观察法看不出特解，或未知数系数较大时,我们则可采用下列几种方法:
1、观察法
这种方法很简单,她就就是通过观察便能看出二元一次不定方程得特解得方法。下面看个例子:
例:求不定方程得整数解
解:根据二元一次不定方程有解得充要条件，
∵
∴方程有整数解经观察得:就就是一个特解
∴方程得所有整数解为：
从例题中我们看出,这种方法显然很简便，对于一些较简单得二元一次不定方程易观察也很适用,但她毕竟也有弊端,有些方程不容易观察,所以我们还需寻求新得方法。
2、分离整数法
此法主要就就是通过解未知数得系数中绝对值较小得未知数,将其结果中整数部分分离出来,则剰下部分仍为整数,令其为一个新得整数变量，据此类推,直到能直接观察出特解得不定方程为止，再追根溯源,求出原方程得特解、
例:解不定方程、
解∵，∴原方程有整数解、
先用ｘ，y得系数中较小得３7去除方程得两边，并解出x,得除以37、
再把上式右边y得系数和常数项得整数部分分离出来，写成除以37、
由于x，ｙ都就就是整数，也就就是整数,则除以37
也一定就就是整数,则可令(由于此时－12+4×3除37∈Z)，则有、
补充说明假设通过原式中未看出特解,可令除除4
则ｔ除,有,从而有,可推得、
这样得原不定方程得特解为,、
∴原不定方程得通解为{,(t∈Z)、
３、逐渐减小系数法
此法主要就就是利用变量替换,使不定方程未知数得系数逐渐减小,直到出现一个未知量得系数为±1得不定方程为止,直接解出这样得不定方程(或可以直接能用观察法得到特解
得不定方程为止,再依次反推上去)得到原方程得通解、
例：解不定方程、
解∵，∴原方程有整数解、
由,用y来表示x,得
37=1－3y+－１2+４y除37、
则令
,即
由,用k来表示ｙ,得
除4、则令,得
将上述结果一一代回，得原方程得通解为
{,(ｔ∈Z)、
4、辗转相除法
此法主要借助辗转相除式逆推求特解、
例:解不定方程
解∵∴原方程有整数解、用辗转相除法求特解：
从最后一个式子向上逆推得到
,
∴
则特解为,
通解为，
,
或改写为{，(ｔ∈Z）、
5、欧拉算法
受辗转相除法得启示，此题可简化为采用欧拉算法得方法求解、其实质仍就就是找出(a,b)表为a，b得倍数和时得倍数,从而求出特解、
例5解不定方程
解∵,∴原方程有整数解、(见抄）
∴，
则特解为,
通解为,
或改写为{，(t∈Ｚ)、
6、同余替换法
此法主要就就是取未知量系数绝对值较小者作为模,对另一系数和常数项取同余式,将其值替换为较小得同余值，构成一个新得不定方程，据此类推，直到某不定方程得一个变量系数为
±1为止，然后一一代回,直接求出原不定方程得通解、
例:解不定方程
解∵,∴原方程有整数解、
(见抄)则原方程转化为，
即,将其代入(1)，有
再将上式代入原方程,有,
综上得原方程得通解为{,（t∈Ｚ)、
最后,对于未知数系数和常数项之间有某些特殊关系得不定方程,如常数项可以拆成两未知数系数得倍数得和或差得不定方程,可以采用分解常数