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七年级数学竞赛系列讲座(11)
应用题〔三〕
一、一、学问要点
数学应用题涉及的题材广泛，内容丰富。大到卫星上天，小到日常生活，无时无地不体现数学的作用。数学应用题我们不能局限于几种类型，主要的是要增加应用数学的意识，提高处理数学应用题的力量。解决数学应用题的关键是从数学应用题中抽象出数学模型，把数学应用题转化成一个数学问题来解决。
二、二、例题精讲
例1某果品商店进展组合销售，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：
3千克A水果，8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，
1千克C水果。A水果每千克2元，B水果每千克1.2元，C水果每千克10元，某天该商店销售这三种搭配共得441.2元，其中A水果的销售额为116元，则C水果的销售额为元。(2025年全国初中数学联合竞赛试题)
解：设该天卖出甲种、乙种、丙种水果分别为x、y、z套，依题意有
??2?2x?3y?2z??116
?
?8.8x?25.6y?21.2z?441.2、
? 2x?3y?2z?58
∴??22x?64y?53z?
∴?
消去x得：31(y+z)=465，故y+z=15
所以，共卖出C水果15千克，C水果的销售额为15?10=150
评注：此题列出的是不定方程，要求出x、y、z是不行能的，但此题只要整体地求出y+z
就行了。
例2某班参与一次智力竞赛，共a、b、c三题，每题或者得总分值或者得0分。其中题a总分值20分，题b、题c总分值分别为25分。竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有一人，答对其中两道题的有15人。答对题a的人数与答对题b的人数之和为29；答对题a的人数与答对题c的人数之和为25；答对题b的人数与答对题c的人数之和为20。问这个班平均成绩是多少分？(1999年全国初中数学联合竞赛二试试题)
解：设答对题a、答对题b、答对题c的人数分别为x、y、z，则有
?x?y?29 ?x?17
? ?
?x?z?25 解得?y?12
?y?z?20 ?z?8
? ?
所以答对一题的人数为：37-1?3-2?15=4全班人数为：1+4+15=20
17?20??12?8??25
20
?42
故全班平均成绩为
答：这个班平均成绩是42分
评注：此题是通过设间接未知数来列方程，设未知数的方法一般和直接和间接两种。
例3在边防沙漠地带，巡逻车每天行驶200公里，每辆巡逻车可装载供行驶14天的汽油。现有5辆巡逻车同时从驻地A动身，完成任务后再沿原路返回驻地，为了让其中三辆尽可能向更远的距离巡逻(然后再一起返回)，甲、乙两车行至途中B处后，仅留足自己返回驻地所必需的汽油，将多余的汽油留给另外三辆使用，问其它三辆可行进的最远距离是多少公里？(1995年河北省初中数学联合竞赛试题)
解：设巡逻车行到途中B处用了x天，从B处到最远处用了y天，则有2[3(x+y)+2x]=14?5，即5x+3y=35
又由题意，需x0，y0且14?5–(5+2)x≤14?3，即x≥4
?5x?3y?35
?? x?4
?
?? y?0
?
从而问题的本质是在约束条件 之下，求y的最大值，
明显y=5，这样，200?(4+5)=1800(公里)
所以其它三辆可行进的最远距离是1800公里
例4龙九想知道圆珠笔、彩笔、铅笔、签字笔和荧光笔的价格，这些笔中每两种笔(每种各一支)装一盒，它们的价格分别是250元、290元、320元、340元、360元、370元、390元、410元、430元、480元。铅笔比彩笔廉价30元，签字笔比圆珠笔贵，荧光笔比签字笔贵。求出每种笔的价格。(第一届汉城国际数学竞赛试题)
分析：设光笔、签字笔、圆珠笔、彩笔、铅笔的价格分别是abcde元,
每两种笔合在一起，可以得出10个和：
a+b,a+c,a+d,a+e,b+c,b+d,b+e,c+d,c+e,d+e.
由光笔、签字笔、圆珠笔、彩笔、铅笔的价格的大小关系得出a+b最大，a+c次之，d+e最小，c+e次小，从而列出方程组。
解：设荧光笔、签字笔、圆珠笔、彩笔、铅笔的价格分别是abcde元,
每两种笔合在一起，可以得出 10 个和：
a+b,a+c,a+d,a+e,b+c,b+d,b+e,c+d,c+e,d+e.