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2021-2022学年天津市河东区高二（上）期中数学试卷
一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．直线l：x+2y﹣3＝0的一个方向向量为（）
A．（2，﹣1） B．（2，1） C．（﹣1，2） D．（1，2）
2．已知直线l的一个方向向量，且直线l过A（0，a，3）和B（﹣1，2，b）两点，则a+b＝（）
A．0 B．1 C． D．3
3．若直线x+（1+m）y﹣2＝0和直线mx+2y+4＝0平行，则m的值为（）
A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．
4．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，可以作为空间向量一个基底的是（）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
5．已知点A（﹣2，1），B（0，﹣3），则以线段AB为直径的圆的方程为（）
A．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝5 B．（x+1）2+（y+1）2＝5
C．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝20 D．（x+1）2+（y+1）2＝20
6．已知两圆x2+y2＝1和x2+y2﹣6x﹣8y+9＝0，那么这两个圆的位置关系是（）
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
7．已知直线l过点A（a，0）且斜率为1，若圆x2+y2＝4上恰有3个点到l的距离为1，则a的值为（）
A．±3 B．±3 C．±2 D．
8．已知向量＝（3，1，2），＝（﹣1，3，t），且与夹角的余弦值为，则t的取值可以是（）
A．2 B．﹣2 C．4 D．±2
9．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC线段上的点，且满足PN＝2NC，AM＝2MB，PA＝AB＝1，则的坐标是（）
A．（，0，） B．（，0，） C．（，，0） D．（，，0）
二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
10．直线x﹣y﹣3＝0的倾斜角为．
11．两平行直线l1：6x+8y﹣4＝0与l2：6x+8y﹣5＝0之间的距离为．
12．若向量＝（0，1，﹣1），＝（1，1，0），则（﹣2）的值是．
13．若直线l：x﹣y﹣＝0与圆C：x2+y2﹣4x+3＝0相交于A，B两点，O是坐标原点，则△OAB的面积是．
14．已知直线l的方向向量为＝（1，，﹣1），若点P（﹣1，1，﹣1）为直线l外一点，A（4，1，﹣2）为直线l上一点，则P到直线l上的距离为．
15．已知，，是空间三个不共面的向量，下列各组向量中不共面的是．
三.解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（6分）已知直线l：x﹣y+1＝0，点A（﹣1，﹣2）．
（1）求过点A且与l垂直的直线方程；
（2）求点A关于直线l的对称点A′的坐标．
17．（6分）已知＝（﹣2，3，5），＝（4，1，a），＝（6，b，﹣2）．
（1）若四边形ABCD为平行四边形，求实数a，b的值；
（2）若四边形ABCD的对角线互相垂直，求实数a，b满足的关系式．
18．（8分）已知圆C的圆心在直线2x﹣y﹣2＝0上，且与直线l：3x+4y﹣28＝0相切于点P（4，4）．
（1）求圆C的方程；
（2）求过点Q（6，﹣15）与圆C相切的直线方程．
19．（10分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点
（Ⅰ）证明：BC⊥平面CC1E；
（Ⅱ）求二面角E﹣B1C﹣C1的正弦值．
20．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝3．M是AB的中点，N是B1C1的中点，点P在线段A1N上，且A1P＝A1N，Q是BC1与B1C的交点．
（Ⅰ）求证：PQ∥平面A1CM；
（Ⅱ）在线段AA1上是否存在点S，使得直线CS与平面A1CM所成角的正弦值为？请说明理由．
2021-2022学年天津市河东区高二（上）期中数学试卷
一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．直线l：x+2y﹣3＝0的一个方向向量为（）
A．（2，﹣1） B．（2，1） C．（﹣1，2） D．（1，2）
【解析】根据直线l的斜率求解．
解：由直线l：x+2y﹣3＝0，可得直线的斜率k＝﹣，
故x+2y﹣3＝0的一个方向向量为（2，﹣1），
故选：A．
本题考查直线的方向向量问题，是一道基础题．
2．已知直线l的一个方向向量，且直线l过A（0，a，3）和B（﹣1，2，b）两点，则a+b＝（）
A．0 B．1 C． D．3
【解析】先求出＝（﹣1，2﹣a，b