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1.3解直角三角形（知识解读）
【学习目标】
使学生理解直角三角形中五个元素的关系，什么是解直角三角形；
2．会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
【知识点梳理】
考点1解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.
在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.
设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：
①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).
②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.
③边角之间的关系：
，，，
，，.
④，h为斜边上的高.
注意：
(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.
(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).
(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.
考点2解直角三角形的常见类型及解法
已知条件
解法步骤
Rt△ABC
两
边
两直角边(a，b)
由求∠A，
∠B=90°－∠A，
斜边，一直角边(如c，a)
由求∠A，
∠B=90°－∠A，
一
边
一
角
一直角边
和一锐角
锐角、邻边
(如∠A，b)
∠B=90°－∠A，
，
锐角、对边
(如∠A，a)
∠B=90°－∠A，
，
斜边、锐角(如c，∠A)
∠B=90°－∠A，
，
注意：
1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.
2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.
【典例分析】
【考点1解直角三角形】
【典例1】（2022?广西）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为α，则高BC是（）
A．12sinα米 B．12cosα米 C．米 D．米
【变式1-1】（2022?锦江区校级开学）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，tanB＝，则AB的长为（）
A．8 B．12 C．13 D．18
【变式1-2】（2021秋?宝山区期末）如图，已知Rt△ABC，CD是斜边AB边上的高，那么下列结论正确的是（）
A．CD＝AB?tanB B．CD＝AD?cotA C．CD＝AC?sinB D．CD＝BC?cosA
【典例2】（2021秋?薛城区期末）在平面直角坐标系中，第一象限内射线OA与x轴正半轴的夹角为α，点P在射线OA上，若cosα＝，则点P的坐标可能是（）
A．（3，5） B．（5，3） C．（3，4） D．（4，3）
【变式2-1】如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的纵坐标为3，cosα＝，则tanα的值为（）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2019秋?金山区期末）如图，已知在平面直角坐标系xOy内有一点A（2，3），那么OA与x轴正半轴的夹角α的余切值是（）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2022?南京模拟）如图，已知点P（4，3），OP与x轴正半轴的夹角为α，则cosα＝（）
A． B． C． D．
【典例3】（2022?安庆一模）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AD⊥BC交BC于点D，若AB＝4，tan∠CAD＝，则BC＝（）
A．6 B．6 C．7 D．7
【变式3-1】（2021秋?岱岳区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足．若AC＝8，BC＝6，则sin∠ACD的值为（）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2021秋?苏州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则cosB的值为（）
A． B． C． D．
【典例4】（2021秋?泰山区校级月考）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosA的值是（）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2021秋?淇滨区校级期中）如图．在5×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则sin∠BAC的值为（）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2021秋?泰兴市期中）如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin∠ACB的值为（）
A．3 B． C． D．
【典例5】（2022?台儿庄区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，∠ADC＝45°，BD＝2，tanB＝
（1）求AC和AB的长；
（2）求sin∠BAD的值．
【变式5-1】（2021春?徐汇区校级月考）如图，在△ABC中，∠A