关于函数的周期性与图象对称性第1页，共13页，星期日，2025年，2月5日1．函数的周期性对于函数f(x)，如果存在一个不为0的常数T，使得当x取定义域内的时，有都成立，那么就把函数y＝f(x)叫周期函数，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，把这个最小的正数叫．若T是函数y＝f(x)的一个周期，则nT(n∈Z)也是f(x)的．任意一个值f(x＋T)＝f(x)最小正周期周期注意：定义域两头都是无界第2页，共13页，星期日，2025年，2月5日若函数满足如下关系，证明这些函数是否是周期函数，研究它们的周期.探讨：第3页，共13页，星期日，2025年，2月5日【例1】求函数图像的对称中心.小结：一般地，函数的对称中心为:__________.2.函数图像的中心对称：若f(a+x)+f(a-x)=2b，则f(x)的图象关于点对称第4页，共13页，星期日，2025年，2月5日3.函数图像的轴对称：若f(a+x)=f(a-x)，则f(x)的图象关于直线对称。【例2】已知是函数的对称轴,求a的值.【练习1】若函数y=log2|ax-1|的图象关于直线x=2对称,求非零实数a的值.【练习2】已知对一切x都有f(x)=f(2-x)且方程f(x)=0有2011个不同的根，求这2011个根的和.第5页，共13页，星期日，2025年，2月5日【例3】设f(x)是定义在R上的奇函数，对任意x∈R，恒有f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2009)＋f(2010)．第6页，共13页，星期日，2025年，2月5日【证明】(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)由f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2004)＋f(2005)＋f(2006)＋f(2007)．第7页，共13页，星期日，2025年，2月5日又x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2，∴f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，且f(3)＝f(－1)．∵f(x)是奇函数，∴f(3)＝－f(1)＝－1，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，又f(2008)＝f(0)＝0，f(2009)＝f(1)＝1，f(2010)＝f(2)＝0.因此f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＝1.第8页，共13页，星期日，2025年，2月5日4.对称性与周期性的关系①一般地:若x=a,x=b(a≠b)是函数f(x)的两条对称轴,则f(x)为周期函数且2|a-b|为它的一个周期.②一般地:若(a,0),(b,0)(a≠b)是函数f(x)的两个对称中心,则f(x)为周期函数且2|a-b|为它的一个周期.③一般地:若x=a和(b,0)(a≠b)分别是函数f(x)的一条对称轴和一个对称中心,则f(x)为周期函数且4|a-b|为它的一个周期.(结论不需记，以三角函数y=sinx为模型加以理解)第9页，共13页，星期日，2025年，2月5日【例4】已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2008)＋f(2009)的值为()A．－2B．－1C．1D．2第10页，共13页，星期日，2025年，2月5日