专题05和数列有关的规律类运算探究
类型一和拆项有关
1．请先阅读下列一组内容，然后解答问题：
∵；；；…．，
∴+++…+
=…
=…．
计算：
（1）+++…+；
（2）已知|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，求：．
（3）+++…+．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
【分析】
（1）观察阅读材料中的运算过程，得到拆项规律，将所求式子变形，计算即可得到结果；
（2）根据互为相反数的两个数和为0，求出a和b的值，利用（1）的结论可进行化简，然后进行加减运算即可；
（3）先把每个分数提将原式变形，然后与（1）的计算方法一样．
【详解】
（1）+++…+
=…
=；
（2）∵|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，
∴|a﹣1|+|b﹣2|=0，
∴a=1，b=2，
∴原式=+++…+
=…
=；
（3）+++…+
=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）
=（1﹣）
=．
【点睛】
本题考查了规律型－数字的变化类，有理数的混合运算，相反数的定义，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．
2．先观察下列等式，再完成题后问题：=，，
（1）请你猜想：=．
（2）若a、b为有理数，且│a－1│+(ab－2)2=0，求:
??????????的值．
（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据题意得出=即可；
（2）利用非负数的性质得到a和b的值，代入原式后，根据以上规律裂项求解可得；
（3）原式利用得出的规律变形，注意先提公因数，从而计算即可得到结果．
【详解】
解：（1）由题意可得：
=，
故答案为：；
（2）∵|a1|+（ab2）2=0，
∴a1=0，ab2=0，
∴a=1，b=2，
∴
=
=
=
=；
（3）
=
=
=
=．
【点睛】
本题主要考查了有理数的混合运算，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．本题的关键规律为=．
3．观察下列各式：，，…，……
解答下列各题：
（1）尝试并计算：；
（2）尝试并计算：；
（3）已知与互为相反数，试求代数式的值
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）仿照例题原式可化为，即可得到答案；
（2）原式可化为，即可求解；
（3）根据相反数的定义得到，求出x与y的值，再仿照例题的方法计算得到答案.
【详解】
（1）
；
（2）
；
（3）∵与互为相反数，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴
.
【点睛】
此题考查有理数的混合运算，数字类计算的规律探究，正确理解例题，总结并运用数字计算的规律是解题的关键.
类型二和等比数列有关
4．【阅读】求值…．
解：设S=…①
将等式①的两边同时乘以2得：2S=…②
由②﹣①得：
即：S=…
【运用】仿照此法计算：
…；
【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为S1，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形S2，依次操作2019次，依次得到小正方形S1、S2、S3、…、S2019．
完成下列问题：
（1）小正方形的面积S2019等于；
（2）求正方形S1、S2、S3、…、S2019的面积和．
【答案】[运用]；（1）；（2）
【解析】
【分析】
[运用]仿照题目中的算法可以解答本题；
（1）由、、，可得；
（2）仿照题目中的算法可以解答本题．
【详解】
解：[运用]设①，
①，得：②，
②①，得：，
则，即；
（1）、、，
∴，
故答案为：；
（2）设①，
①，得：②，
①②，得：，
所以，即．
【点睛】
本题考查数字的变化类，解题的关键是明确题意，发现数字的变化规律．
5．阅读探究：，，，…
(1)根据上述规律，小亮发现，求出___________．
(2)小聪继续又发现：
，求出___________．
(3)若，请运用小聪的方法求和的值
【答案】(1)6
(2)7
(3)，
【解析】
【分析】
（1）根据阅读材料，发现规律即可求解；
（2）根据阅读材料，发现规律即可；
（3）把A变形为，根据阅读材料所得规律即可计算．
(1)
解：∵，，，
∴，
∴
故答案为：6
(2)
解：∵，
，
∴，
∴.
故答案为：7
(3)
解：∵，
∴
∵，
∴，.
【点睛】
本题考查了规律型?数字的变化类、有理数的混合运算，解决本题的关键是理解阅读材料．
6．《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题．
【规律探索】
（1）如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则S阴影1＝1－＝
如图2，在图1的基础