关于函数的定义域值域及其性质第1页，共32页，星期日，2025年，2月5日一.函数的定义域和值域二.函数的一些主要性质第2页，共32页，星期日，2025年，2月5日函数的定义域和值域作用：定义域是研究函数的基础，在讨论函数的性质、作图、解方程和不等式、构造复合函数等问题中都起着重要的作用。定义：函数的定义域就是使函数式有意义的实数x的集合，而函数的值域就是在函数中，与自变量x的值对应的y值的集合。定义域第3页，共32页，星期日，2025年，2月5日确定定义域的原则（1）当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中表示自变量的实数的集合；（2）当函数用图像给出时，函数定义与食指图像在x轴上的投影所覆盖的实数集合；（3）当函数用解析式给出时，函数定义域是指使解析式有意义的实数x的集合；（4）当函数有实际问题给出时，函数定义域是由实际问题的一一确定。第4页，共32页，星期日，2025年，2月5日确定初等函数定义域的依据（1）若f（x）是整式，则定义域为全体实数；（2）若f（x）是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数；（3）若f（x）是偶次根式，则定义域为使被开方式为非负的全体实数；（4）函数的定义域是（-∞，0）∪（0，﹢∞）。某些复合函数的定义域的确定原则第5页，共32页，星期日，2025年，2月5日值域定义：在函数y=f（x）中，与自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。确定函数值域的原则：（1）当函数y=f（x）用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合；（2）当函数y=f（x）用图像给出时，函数的值域是指图像在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；（3）当函数y=f（x）用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；（4）当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。第6页，共32页，星期日，2025年，2月5日求函数值域的常用方法①图像法②配方法③反函数法④判别式法⑤换元法⑧求导法⑨数形结合法⑦单调性法⑥不等式法第7页，共32页，星期日，2025年，2月5日①图像法：通过画出函数的图像从而得出函数的值域。例1.求函数的值域。第8页，共32页，星期日，2025年，2月5日例2：求函数的值域。②配方法：是求“二次型函数”值域的基本方法，形如的函数值域问题，均可用配方法。第9页，共32页，星期日，2025年，2月5日③反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。形如的函数的值域，均可使用反函数法。此外，这种类型的函数值域也可使用“分离常数法”求解。例3：求函数的值域。第10页，共32页，星期日，2025年，2月5日④判别式法：把函数转化成关于x的二次方程F（x，y）=0，通过方程有实根，判别式△≥0，从而求得原函数的值域。形如的函数值域常用此方法求解。前提条件：（1）函数的定义域为R，（2）分子分母没有公因式。第11页，共32页，星期日，2025年，2月5日例4：求函数的值域。第12页，共32页，星期日，2025年，2月5日⑤换元法：运用代数或者三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求的原函数的值域，形如的函数常用此法求解。例5：求下列函数的值域。第13页，共32页，星期日，2025年，2月5日第14页，共32页，星期日，2025年，2月5日⑥不等式法：利用基本不等式：