（9）平面直角坐标系与函数（知识精炼）
——中考数学一轮复习考点精炼与综测
重难讲解
1.点的坐标特征
类别
点的位置
特征
图示
各象限内的点
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
坐标轴上的点
x轴
y轴
原点
与坐标轴平行的直线上的点
与x轴平行
与y轴平行
各象限角平分线上的点
第一、三象限
第二、四象限
【注意】
（1）坐标轴上的点不属于任何象限
（2）对于坐标平面内任意一点，都有唯一一对有序数对（点的坐标）和它对应
2.点的平移
平移前的点的坐标
平移方式
平移后点的坐标
向左平移a个单位长度
向右平移a个单位长度
向上平移a个单位长度
向下平移a个单位长度
口诀：右加左减，上加下减（左右平移，纵坐标不变；上下平移，横坐标不变）
3.点的对称
对称前的坐标
对称方式
对称后点的坐标
关于轴对称
关于轴对称
关于原点对称
关于直线对称
关于直线对称
4.点的旋转：点绕点逆时针旋转所得对应点的坐标为
5.自变量的取值范围
整式型
自变量的取值范围：任意实数，如中，为任意实数
分式型
自变量的取值范围：分母不为0，如中，
二次根式型
自变量的取值范围：被开方数大于等于0，如中，
分式二次根式型
自变量的取值范围：分母不为0且被开方数大于等于0，如中，；中，且
实际问题中
自变量的取值范围：使实际问题有意义
延伸拓展
坐标系中的距离
（1）点到坐标轴及原点的距离
①到轴的距离；
②到轴的距离；
③到原点的距离.
（2）两点间的距离（设）
①轴，；
②轴，；
③为任意两点，
解题方法
1.根据点的坐标求其所在位置的问题
在平面直角坐标系中，各象限内点的坐标符号具有以下特征：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限.已知点的坐标求其所在位置，应先判断其横、纵坐标的符号，然后根据坐标系内各位置点的坐标特征来确定其位置.因此，理解并记住各象限内点的坐标符号特征是解题的关键.
2.几何图形中建立适当的平面直角坐标系的技巧
①使图形中尽量多的点在坐标轴上；②以某些特殊线段所在的直线为轴或轴；③若图形被一条直线分得的两部分形状，大小相同，则可以将此直线作为轴或轴；④以某已知点为原点，使它的坐标为.
3.根据点的位置来求点的坐标的有关问题
该类问题分两种情况，一种情况是根据几个已知点的坐标来确定另外一个点的坐标，他通常是先根据已知点的坐标确定平面直角坐标系，然后再求另一点的坐标；另一种情况是已知点的位置，求点的坐标中有关字母的取值范围，解决这类问题，首先根据点的位置来确定该点横、纵坐标的符号，然后根据横、纵坐标的符号及其他条件来确定字母的取值范围.坐标轴上的点的坐标特征：①若点在轴上，则点的纵坐标为0，横坐标为任意实数；②若点在轴上，则点的横坐标为0，纵坐标为任意实数.据此即可解决问题.
4.求平面直角坐标系中几何图形面积的方法
求平面直角坐标系中几何图形的面积，常见的图形是三角形和四边形.①当三角形有一条平行于坐标轴或落在坐标轴上时，直接应用三角形的面积公式进行计算；②当三角形没有一条边平行于坐标轴或落在坐标轴上时，要用割补法，将三角形的面积转化为其他图形面积的和或差；③求不规则多边形的面积时，一般采用割补法，将不规则的多边形割补为规则图形，进而求出其面积.一般地，过图形的顶点向轴或轴作垂线，找出不规则图形与规则图形之间的联系.
5.解函数自变量的取值范围问题
确定自变量的取值范围时，①考虑使函数关系式有意义：在整式中，自变量的取值范围为全体实数；分式中满足分母不为0；偶次方根满足被开方数是非负数；在零次幂或负整数次幂中，底数不为0.②要注意实际问题中的实际意义.③在具体问题中，要综合上述几种情况同时考虑.
【方法总结】
对于代数式中既含有分式，又含有二次根式的情况，应先求出式子中各部分的取值范围，然后再求出其公共部分，即为自变量的取值范围.
6.识别和判断函数图象的问题
对于函数图象的识别与判断问题，在解决时要读懂所给情境，仔细分析横轴、纵轴上数据的意义，要特别注意分析其中的“交点”“转折点”的意义，这些“关键点”意味着图象再次发生变化.还要注意图象的变化趋势，并结合题中文字信息，做到“数形结合”，这样才能做出准确判断.
【方法总结】
（1）读取函数图象上的信息时，不仅要注意观察图象，同时还要注意文字表述中的信息，两者相辅相成.
（2）观察图象时要注意观察横轴、纵轴的意义以及一些特殊点的坐标，将点的坐标转化成文字信息和数量关系.
（3）观察图象时，与横轴平行的图象的实际意义取决于纵轴表示的量：若纵轴表示路程，则与横轴平行的图象表示停止运动；若纵轴表示速度，则与横轴平行的图象表示匀速运动.