（7）一元二次方程（综合测试）——中考数学一轮复习考点精炼与综测
【满分：120】
一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若关于x的一元二次方程有一个根是0,则k的值是()
A. B.2 C.0 D.或2
2.流行性感冒传染迅速,若有一人感染,经过两轮传染后共有100人患病,设每轮传染中平均一人传染了x人,可列出的方程是()
A. B.
C. D.
3.已知.若,,则P与Q的大小关系是()
A. B. C. D.
4.已知,是一元二次方程的两根,且的值是()
A.4 B. C.2 D.1
5.如图,在中.,,,点P从点B出发以每秒1个单位长度的速度向终点C移动,同时,点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度向终点A移动.当一点到达终点时,另一点也停止移动.若的面积等于4,则它们移动的时间是()
A.1秒或4秒 B.2秒或4秒 C.2秒 D.1秒
6.已知、是方程的两个根，则的值为()
A.5 B.4 C.7 D.6
7.若非零实数a,b()满足,,则的值是()
A. B. C. D.
8.已知关于x的一元二次方程有实数根,则m的取值范围是()
A.且 B. C.且 D.且
9.关于x的方程,下列解法完全正确的是()
甲
乙
丙
丁
两边同时除以得到.
移项得：,
∴,
∴或,
∴,.
整理得
∵,,,
∴
∴
∴,.
整理得
配方得：,
∴,
∴,
∴,.
A.只有甲 B.只有乙 C.只有丙 D.乙和丁
10.已知等腰的一条边长为7.其余两边的边长恰好是方程的两个根,则m的值是()
A.4 B.4或10 C.2 D.2或4或10
11.若关于x的方程的两根之和是m,两根之积是n,则关于t的方程的两根之积是()
A. B. C. D.
12.对于一元二次方程,下列说法：
①若,则；
②若方程有两个不相等的实根,则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根,则一定有成立；
④若是一元二次方程的根,则其中正确的()
A.只有①②④ B.只有①②③ C.只有②③④ D.只有①②
二、填空题（每小题3分，共15分）
13.某市实施科技强市的战略,为加强科技基础研究能力,逐步加大了对科研经费的投入,2022年投入科研经费6000万元,2024年投入经费8000万元.设科研经费投入的年平均增长率为x,根据题意可列方程为______.
14.方程的解为______.
15.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则m的取值范围是______.
16.定义新运算,规定.方程的解为______.
17.关于x的一元二次方程有两个不同的实数根,,且,则______.
三、解答题（本大题共6小题，共计57分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
18.（6分）解下列方程：(1)；
(2).
19.（8分）项目化学习
素材：全面推进美丽中国建设,当前在各地积极开展.我市在城市园林绿化建设方面,从“园林城市”、“生态园林城市”到“公园城市”,城市人居生态环境已有很大提升.其中,某一新建公园想在一块长为,宽为的矩形地面上,修建等宽的道路,剩余部分种上草坪.现有两种小道设计方案,如下图：
其中：按图1的方案设计小道,测得草坪的面积是；
如图2所示,修建两横两竖等宽的道路(横竖道路各与矩形的一条边平行),剩余部分种上草坪后,草坪的面积是地面面积的二分之一.
请根据以上信息解决下列问题：
任务1：求图1中道路的宽度；
任务2：经过一致协商,最终选择如图2所示的第二种小道设计方案.从美观角度考虑,决定在横竖两条小道上铺设花砖,求小道重叠部分花砖的面积.
20.（8分）已知关于x的一元二次方程的两实数根分别为,.
(1)求m的取值范围；
(2)若,求方程的两个根.
21.（10分）某中学要新建一块篮球场地(如图所示),要求：①篮球场(阴影部分)的长和宽分别为,；②在篮球场四周修建宽度相等的安全区域；③篮球场及安全区域的总面积为.
(1)求安全区域的宽度.
(2)某公司希望用45万元承包这项工程,该中学认为金额太高需要降价,通过两次协商,最终以36.45万元达成一致.若两次降价的百分率相同,求每次降价的百分率.
22.（12分）如图,四边形是证明勾股定理时用到的一个图形,a,b,c是和边长,易知,这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.
请解决下列问题：
(1)写出一个“勾系一元二次方程”；
(2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
(3)若是“勾系一元二次方程”的一个根,且四边形的周长是,求面积.
23.（13分）如图,在中,,,,动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动,动点Q从点B开始沿