（7）一元二次方程（知识精炼）
——中考数学一轮复习考点精炼与综测
重难讲解
1.“”是一元二次方程的重要组成部分，当时，
就成了一元一次方程，但如果明确了是一元二次方程，就隐含了这个条件.
2.方程的根
（1）当时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根
（2）当时，方程有两个相等的实数根
（3）当时，因为对任意实数x，都有，所以方程无实数根.
3.可化为的形式的一元二次方程的根
（1）当时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当时，方程有两个相等的实数根；
（3）当时，因为对任意实数x，都有，所以方程无实数根.
4.用公式法解一元二次方程的步骤：
（1）整理方程：将方程整理为的形式，找到公式中的，要注意的符号.
（2）计算根的判别式：将的值代入计算，并判断的符号.
（3）求根：当时，方程有两个不相等的实数根，即
；当时，方程有两个相等的实数根，即；当时，方程无实数根.
5.用因式分解法解一元二次方程的步骤
（1）移项：将方程化为一般式；
（2）分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积；
（3）转化：令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
（4）求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.
6.一元二次方程根的情况判断
方程的根的情况
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
无实数根
上面结论反过来也成立，即当一元二次方程有两个不相等的实数根时，；当一元二次方程有两个相等的实数根时，；当一元二次方程没有实数根时，.
7.一元二次方程的根与系数关系
一元二次方程的根与系数的关系
数学语言
若的两个根为，则，
文字语言
一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.
使用条件
（1）方程是一元二次方程，即二次项系数不为0；
（2）方程有实数根，即.
重要结论
（1）若一元二次方程的两根为，则，.
（2）以实数为两根的二次项系数为1的一元二次方程是.
延伸拓展
1.对于二次项的系数含有字母的方程，若字母的取值范围不明确，则这个方程不一定是一元二次方程.例如，关于x的方程，当时，该方程是一元一次方程.
2.关于一元二次方程根的三个重要结论
（1）一元二次方程有一个根为.
（2）一元二次方程有一个根为.
（3）一元二次方程有一个根为.
3.常见的可以用因式分解法求解的方程的类型
常见类型
因式分解为
方程的解
(a，b为常数)
4.对于一元二次方程，当异号时，方程一定有两个不相等的实数根；当时，方程一定有一个根为0.
5.与一元二次方程的两个根有关的几个代数式的变形：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）.
解题方法
1.解一元二次方程的识别问题
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫作一元二次方程.判断一个方程是不是一元二次方程，一般是先把这个方程化简为一般形式，再看是否符合一元二次方程的定义，即是否符合一元二次方程的三要素：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2.
【方法总结】
判断方程是不是一元二次方程，首先要化简整理，使方程的右边为0，左边合并同类项，然后观察是否满足一元二次方程的定义.特别注意二次项系数不能为0.
2.解一元二次方程根的问题
利用一元二次方程的根求字母或代数式的值的方法
解题步骤
解题注意事项
第一步：将方程的根代入原方程.
按目标要求将方程适当变形
第二步：找未知和已知之间的联系，将未知化为已知
运用整体代入的方法
【技巧点拨】整体代入法求代数式的值
已知含字母的方程的根求代数式的值时，如果所求代数式中涉及的字母的值不能直接求出，则常用整体代入法解答.即将所求代数式或其中一部分看成一个整体，通常这部分是已知条件或可利用已知条件求出的部分.
3.列一元二次方程解决实际问题
（一）解增长（或降低）率问题
解决这类问题的关键是理解“增长了”与“增长到”、“降低了”与“降低到”的区别，尤其要理解第二次变化是在第一次变化的基础上发生的.分析、归纳、解决问题的同时，务必要记住公式，其中为增长（或降低）的基础数，为增长（或降低）率，为增长（或降低）的次数，为增长（或降低）后的数量.
（二）解几何图形面积问题
解决图形面积问题的关键是把实际问题转化为数学问题，把实际问题中的已知量和未知量归结到某一个几何图形中，然后利用几何知识来寻找它们之间的关系，列出一元二次方程求解.求不规则图形的面积时，一般是将不规则图形拼凑或分割成规则图形，再利用规则图形的面积公式列方程求解.
（三）解分裂（传播）问题
分裂与传播类问题是一元二次方程实际应用中的常见题型，解决此类问题的关键是原细胞或传染源在不在总数中，其一般思路是先分析问题情境，明确是分裂问题还是传播问题，然后找出问