2025届江苏省南京市高考数学适应性考试模拟试题（二模）
一、单选题（每题5分共40分）
1．已知集合，，则（???）
A．， B． C． D．
2．已知平面向量，且，则在方向上的投影向量的坐标为（????）
A． B． C． D．
3．已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（???）
A． B． C． D．
4．已知等差数列的前项和为，且，若，，成等比数列，则（???）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．已知，，则（????）
A． B． C． D．
6．如图，往一个正四棱台密闭容器内倒入的水，水面高度恰好为棱台高度的，且，，则这个容器的容积为（????）
A． B． C． D．
7．已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象（???）
A．关于直线对称 B．关于直线对称
C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称
8．古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同.据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线.如图2，在底面半径为1，高为的圆锥中，是底面圆上互相垂直的直径，是母线上一点，，平面截该圆锥面所得的曲线的离心率为（????）
A． B． C． D．
二、多选题（每题6分，共18分）
9．在复数范围内，下列命题正确的是（???）
A．若，则为纯虚数 B．若，则
C．若，则的最大值为3 D．若，则
10．在长方体中，，，E为的中点，动点P在长方体内（含表面），且满足，记动点P的轨迹为Ω，则（????）
A．Ω的面积为B．平面与Ω所在平面平行
C．当时，存在点P，使得
D．当时，三棱锥的体积为定值
11．过点作抛物线的两条切线，切点为为抛物线的焦点，则下列说法正确的是（????）
A．点的坐标为
B．若线段的中点为与抛物线交于点，则
C．设抛物线上之间任意一点处的切线分别与交于点，记的面积分别为，则
D．
三、填空题（每题5分，共15分）
12．从的展开式的各项系数中任意选取两个数，这两个数的商的不同的结果有种.
13．二维码是一种利用黑?白方块记录数据符号信息的平面图形.某公司计划使用一款由个黑白方块构成的二维码门禁，现用一款破译器对其进行安全性测试，已知该破译器每秒能随机生成个不重复的二维码，为确保一个二维码在1分钟内被破译的概率不高于，则的最小值为.
14．不过原点的直线l与曲线相切于，相交于点，则.
四、解答题（共77分）
15．（本题13分）某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训．
(1)此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望；
(2)此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格．
（ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率；
（ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）．
16．（本题15分）如图，与存在对顶角，，，且．
(1)证明：为中点；
(2)若，求的长．
17．（本题15分）如图所示，在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面垂直，平面，，是棱上的动点.
(1)当是棱的中点时，求证：平面；
(2)若，，求点到平面距离的范围.
18．（本题17分）在直角坐标系中，椭圆与直线交于M，N两点，P为MN的中点．
(1)若，且N在x轴下方，求的最大值；
(2)设A，B为椭圆的左、右顶点，证明：直线AN，BM的交点D恒在一条定直线上．
19．（本题17分）已知函数，．
(1)证明：有唯一零点；
(2)记的零点为．
（i）数列中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列，并说明理由；
（ii）证明：．
答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
A
C
D
A
C
C
BC
ACD
题号
11
答案
ABD
1．C
【分析】先求出，再求出交集即可.
【详解】由，可得，解得，
所以，所以或，
所以或.
故选：C.
2．D
【分析】由求出，即可得到，再求出的坐标，则可计算在方向上的投影，从而求出在方向上的投影向量的坐标.
【详解】已知，