2025届安徽省高三下学期4月联考数学模拟试题（二模）
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，则（）
A． B． C． D．
2．已知向量，若，则实数（）
A．1 B． C． D．
3．若复数满足，则（）
A． B． C． D．
4．已知是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题中错误的是（）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．2025年春节，国产电影《哪吒之魔童闹海》火遍全球，更是于2月18日登顶全球动画榜．甲、乙、丙、丁、戊五位同学打算去蚌埠固镇、天津陈塘关、南阳西峡县三个哪吒故里旅游打卡，每位同学只去一个地方，每个地方至少去1人，则不同的安排方法有（）
A．120种 B．150种 C．180种 D．300种
6．记为数列的前项和，若为等比数列，则（）
A．64 B．32 C．16 D．8
7．已知是双曲线上的任意一点，过作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
8．已知函数和，若存在实数，使得，则的最小值为（）
A．-e B．-1 C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．一组样本数据如下：47，48，49，50，50，51，52，53，则（）
A．该组数据的平均数为50 B．该组数据的中位数为50
C．该组数据的方差为3 D．该组数据的第80百分位数为51.5
10．已知为坐标原点，，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（）
A． B．当时，
C．可以为 D．周长的最小值是11
11．由函数相加后得到的函数，具有优美的图象和性质，称为“优生成函数”．已知，其优生成函数记为，则（）
A．的图象关于直线对称 B．在区间上先增后减
C．的值域为 D．在区间上有11个零点
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知圆上存在两点关于直线对称，则圆的半径为.
13．在棱长为2的正方体中，是的中点，则三棱锥的外接球的表面积为．
14．已知函数，若过点的两条互相垂直的直线分别与的图象交于另外的点和，且四边形ABCD为正方形，则这两条直线的斜率之和为．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知的内角所对的边分别为，且．
(1)求；
(2)若，求周长的最大值．
16．如图，在四棱锥中，，，，底面，是上一点．
(1)求证：平面平面；
(2)若是的中点，求平面与平面的夹角的正弦值．
17．已知椭圆的短轴长为，且离心率为．
(1)求的方程；
(2)若分别是的左、右顶点，设直线与轴交于点，点是直线上不同于点的一点，直线BQ与交于另一点，直线AM与交于点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
18．某篮球运动员进行定点投篮训练，据以往训练结果，第一次投篮命中的概率为．若前一次投篮命中，那么下次投篮命中的概率为；若前一次投篮未命中，那么下次投篮命中的概率为．
(1)求该运动员第二次投篮命中的概率；
(2)记该运动员前两次投篮命中的次数为，求的分布列和数学期望；
(3)设第次投篮命中的概率为，求证：．
19．已知曲线在点处切线方程为，其中为常数．
(1)①求的值；②证明：只有一个零点．
(2)若函数，且存在正实数，使得成立，求实数的取值范围．
答案
1．【正确答案】B
【详解】由题意得，，所以．
故选B.
2．【正确答案】C
【详解】由题意得，，
因为，所以，
解得，
故选C.
3．【正确答案】D
【详解】设，
则，
则．
故选D.
4．【正确答案】A
【详解】对于A项，若，则或．
对于B，C，D项，显然成立，
故选A.
5．【正确答案】B
【详解】将五位同学分成三组，各组人数分别为1,1,3或1,2,2．
当各组人数为1,1,3时，共有种安排方法；
当各组人数为1,2,2时，共有种安排方法，
所以不同的安排方法有种．
故选B.
6．【正确答案】A
【详解】为等比数列，的首项为，第二项为，
第三项为，
的公比为当时，，
显然当时也符合，
．
故选A.
7．【正确答案】D
【详解】
??
如图，由题意，设，则，即．
因为渐近线方程为，所以，
因为，所以.
故选D.
8．【正确答案】C
【详解】因为，
所以，而，
故，又在定义域上单调递增，则，
于是．
设，则，
当时，，单调递减，
当时，单调递增，
所以．
故选C.
9．【正确答案】AB
【详解】对于A，平均数为，A正确；
对于B，中位数为，B正确；
对于C，方差为，C错误；
对于D，由，得第80百分位数为52，D错误.
故选AB.
10．【正确答案】ABD
【详解】设直线AB的解析式为，联立，消去得，
．
由抛物线定义知，，，
当且仅当时等号成立，故A正确；
设点到直线AB的