2025届安徽省安庆市高三第三次模拟考试数学模拟试题
（三模）
一、单选题（本大题共8小题）
1．复数的共轭复数是（????）
A． B． C． D．
2．等比数列中的，是函数的极值点，，则（）
A．1 B． C． D．
3．已知向量满足,,且,则（）
A．1 B． C． D．2
4．曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为（）
A． B． C． D．1
5．已知函数满足，当时，，则（）
A．2 B．4 C．8 D．18
6．正四棱台上底面边长为1，下底面边长为2，若一个球的球心到正四棱台各个面的距离均等于该球的半径，则正四棱台与该球的体积之比为（）
A． B． C． D．
7．已知点在圆上，A（，0），，则的最小值为（????）
A．1 B． C． D．
8．已知函数，若对于任意的使得不等式成立，则实数的取值范围（????）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A1：第一次取出的是红球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则（????）
A．事件，为互斥事件 B．事件B，C为独立事件
C． D．
10．设函数，则（????）
A．当时，有三个零点
B．当时，无极值点
C．，使在上是减函数
D．图象对称中心的横坐标不变
11．如图，棱长为2的正方体中，分别是棱，棱的中点，动点满足，其中，则下列结论正确的是（???）
A．若，则
B．若，则三棱锥的体积为定值
C．若，则直线与直线所成角的最小值为60°
D．若动点在三棱锥外接球的表面上，则点的轨迹长度为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，则.
13．已知函数的图象在处的切线经过坐标原点，则实数．
14．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，若在C上存在点P（不是顶点），使得，则C的离心率的取值范围为．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列中，，设为前n项和，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和
16．如图，四棱锥中，平面平面，为棱上一点.
??
(1)证明：；
(2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值.
17．已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响．规定：净胜局指的是一方比另一方多胜局．
(1)如果约定先净胜两局者获胜，求恰好4局结束比赛的概率；
(2)如果约定先净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜局．设甲在净胜局时，继续比赛甲获胜的概率为，比赛结束（甲、乙有一方先净胜三局）时需进行的局数为，期望为．
①求甲获胜的概率；
②求．
18．已知点为椭圆的右端点，椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于两点，直线分别与轴交于点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)试判断线段的中点是否为定点，若是，求出该点纵坐标，若不是，说明理由.
19．已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)若，求的值；
(3)求证.
答案
1．【正确答案】C
【详解】由题意知，
令，
所以复数的共轭复数为，
故选C.
2．【正确答案】A
【详解】由求导得.
由或；
由.
所以函数在和上单调递增，在上单调递减.
所以函数的极大值点为，极小值点为.
由题意可知，所以.
故选A.
3．【正确答案】A
【详解】因为，则，
又因为，
由得，
则，则，
故选A.
4．【正确答案】A
【详解】，所以在点处的切线方程为，它与的交点为，与的交点为，所以三角形面积为
故选A.
5．【正确答案】C
【详解】因为，所以．
因为，所以．
故选C.
6．【正确答案】B
【详解】
如图作出正四棱台的轴截面图，可知这个等腰梯形的内切圆就是内切球的最大圆，
根据，设球的半径为，则由直角三角形中的勾股定理得：
，
利用等面积法：，
可得：，
解得：，
再由棱台体积公式得：，
由球的体积公式得：，
所以正四棱台与球的体积之比是：，
故选B.
7．【正确答案】B
【详解】设，，，则，
整理后，
与已知轨迹方程展开整理得：，
对照，得，解得，所以.
则当、、三点共线时取得最小值
故选B.
8．【正确答案】A
【详解】因为，由可得，即函数的定义域为，
可得，
即，
构造函数，其中，则，故函数在上单调递增，
所以，可得，则，
即，其中，令，其中，
则，当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，解得.
综上，
故选A.
9．【正确答案】ACD
【详解】第一次取出的球是红球还是白球两个事件不可能同时发生，它们是互斥的，A正确；
由于是红球有3个，白球有2个，事件发生时，两球同为白色或同为