2024-2025学年甘肃省张掖市高台县高三下学期高考数学试卷
（二模）
一、单选题（本大题共8小题）
1．样本数据15，13，12，31，29，25，43，19，17，38的中位数为（）．
A．19 B．22 C．21 D．18
2．已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是（）．
A． B． C． D．
3．已知等差数列的前项和为，若，则（）．
A．4 B． C． D．6
4．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（????）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
5．学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙2名同学每人从中选一种或两种，且两人之间不会互相影响，则不同的选法种数为（????）
A．20 B．25 C．225 D．450
6．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大．”如图，其结论是：点为过两点且和射线相切的圆的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，点在轴上移动，则的最大值为（????）
A． B． C． D．
7．已知，且，则（????）
A． B． C． D．
8．设是双曲线的左、右焦点，点A是双曲线C右支上一点，若的内切圆M的半径为a（M为圆心），且，使得，则双曲线C的离心率为（????）
A． B． C．2 D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知函数的图象过点，且两条相邻对称轴之间的距离为，则下列说法正确的是（????）
A．
B．在上单调递增
C．直线为函数图象的一条对称轴
D．在上的值域为
10．已知，互为共轭复数，则（????）
A． B． C． D．
11．函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且满足，函数的图象关于点对称，则（????）
A．的图象关于点对称 B．8是的一个周期
C．一定存在零点 D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知集合，且，则实数的值为．
13．我国古代数学典籍九章算术中有一种名为“羡除”的几何体，它由古代的隧道形状抽象而来.如图所示，在五面体中，，四边形，，为等腰梯形，且平面平面.其中，，（），且到平面的距离为，和的距离为，若，，，，，则该“羡除”的体积为.
14．设，，若，则的最小值为，此时的值为.
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，内角的对边分别为，向量，且．
(1)求；
(2)若的外接圆半径为2，且，求的面积．
16．如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，，，，，分别是，的中点．
??
(1)求证：平面；
(2)若平面平面，求直线与平面所成角的余弦值．
17．春节临近，为了吸引顾客，我市某大型商超策划了抽奖活动，计划如下：有A、B、C三个抽奖项目，它们之间相互不影响，每个项目每位顾客至多参加一次，项目A中奖的概率是，项目B和C中奖的概率都是.
(1)若规定每位参加活动的顾客需要依次参加A、B、C三个项目，如果A、B、C三个项目全部中奖，顾客将获得100元奖券；如果仅有两个项目中奖，他将获得50元奖券；否则就没有奖券.求每位顾客获得奖券金额的期望；
(2)若规定每位顾客等可能地参加三个项目中的一个项目.已知某顾客中奖了，求他参加的是A项目的概率.
18．已知抛物线：，焦点为，过作轴的垂线，点在轴下方，过点作抛物线的两条切线，，，分别交轴于，两点，，分别交于，两点．
(1)若，与抛物线相切于，两点，求点的坐标；
(2)证明：的外接圆过定点；
(3)求面积的最小值．
19．已知数列满足，．
(1)已知，
①若，求；
②若关于m的不等式的解集为M，集合M中的最小元素为8，求的取值范围；
(2)若，是否存在正整数，使得，若存在，求出k的最小值，若不存在，请说明理由．
答案
1．【正确答案】B
【详解】将样本数据从小到大重新排列为12，13，15，17，19，25，29，31，38，43；
共10个数据，因此中位数应为第5个数和第6个数的平均数，即.
故选B.
2．【正确答案】D
【详解】因为方程表示的曲线是椭圆，
所以，解得或.
所以实数的取值范围是.
故选D.
3．【正确答案】C
【详解】设等差数列的公差为，
由，则，
，即，
.
故选C.
4．【正确答案】C
【详解】如图所示
对于A，设平面为平面,平面为平面,为，则，则，故A错；
对于B，设平面为平面,平面为平面,为，则，则，故B错；
对于C，过作平面与平面交于直线，，则，，可得，则，故C正确；
对于D，设平面为平面,为，为，则，则，故D错.
故选C.
5．【正确答案】C
【详解】甲和乙的选择方法分别有种方法，
所以甲和乙不同的选择方法有种.
故选C
6．【正确答案】B
【详解】解：设圆心坐标为，则，圆的方程为
因