2024-2025学年安徽省十校联考高三下学期4月联考数学模拟试题（二模）
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知，，则（????）
A． B． C． D．
2．已知复数（其中为虚数单位），则的值为（????）
A． B． C． D．
3．已知非零向量，，且，则在上的投影向量为（????）
A．1 B． C． D．
4．已知，则（????）
A． B． C． D．
5．在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（????）
A． B．6 C．3 D．
6．下列关于函数说法正确的是（????）
A．是函数图象的一个对称中心 B．的值域为
C．在区间上单调递减 D．直线是函数图象的一条对称轴
7．的展开式的常数项是（）
A． B． C． D．
8．已知，且，，则（）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的是（????）
A．若一组数据的方差为，则所有数据都相同
B．在对两个分类变量进行独立性检验时，如果列联表中所有数据都缩小为原来的十分之一，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论不会发生改变
C．已知一组样本点的经验回归方程为，若其中两个样本点和的残差相等，则
D．已知一组数据为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，则它的第70百分位数为7
10．设、是曲线上两个不同的点，则（）
A． B．
C． D．
11．双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布·伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理，椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线.曲线C：是双纽线，则下列结论正确的是（????）
A．已知，，则曲线C上满足的点P有且只有一个
B．曲线C经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C．若直线与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为
D．曲线C上任意一点到坐标原点的距离都不超过2
三、填空题（本大题共3小题）
12．设双曲线：的两条渐近线的倾斜角分别为，，若，则C的离心率为.
13．已知，关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是.
14．已知表示不超过的最大整数，记，设，且，当时，所有满足条件的n的和等于.
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，点在边上，且，.
(1)求；
(2)若，点在线段上，当为锐角三角形，求的取值范围.
16．如图，四边形是圆所有内接四边形中面积最大的四边形，为平面外一点，且，，是的中点.
??
(1)证明平面；
(2)求二面角的余弦值.
17．2023年华为盘古气象大模型实现秒级预测全球天气，突破了传统NWP算力瓶颈，代表了AI在科学计算（AI??for??Science）的重要突破，推动了全球气象行业的智能化升级.未来天气预报或将进入“分钟级、街道级”的精准时代.现某城市根据气象数据有两种天气状态：晴天（S）和雨天（R），变化规律预测如下：
①如果今天是晴天，明天有80%的概率仍然是晴天，20%的概率会下雨；
②如果今天是雨天，明天有60%的概率仍然是雨天，40%的概率会转晴.
假设今天天气是晴天，回答以下问题：
(1)从明天开始接下来的三天中，天气是晴天的天数用随机变量X表示，求X的分布列和数学期望；
(2)长期来看，晴天和雨天的概率分布会趋于稳定，从今天算起第n天预测是晴天的概率用表示，求的表达式及趋于的稳定值.
18．已知椭圆：的离心率为，过椭圆的焦点且与短轴平行的弦长为1.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，
（i）求点M到直线距离的最大值；
（ii）设直线与x轴交于点C，直线与y轴交于点D，求面积的最大值.
19．已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论函数极值点的个数；
(3)设，，求证.
答案
1．【正确答案】C
【详解】由，即，解得，
所以，
又，
所以.
故选C.
2．【正确答案】D
【详解】因为，所以.
故选D.
3．【正确答案】C
【详解】因为，所以，即，
所以在上的投影向量为.
故选C
4．【正确答案】A
【详解】因为，
又，
所以.
故选A.
5．【正确答案】B
【详解】
??
设，，，
则，，
由，
因，，则，
代入整理得，，显然，故，
因，故当时，取得最大值，
此时取得最小值为36，故的最小值为为6.
故选B.
6．【正确答案】B
【详解】令，即，解得；
所以当时，
由，所以，
所以；
令，即，解得；
所以当时，
由，所以，
所以；
综上可得，
且的值域为，故B正确；
作出函数的大致图象：
由图可知不是中心