高考数学
圆锥曲线
（椭圆、双曲线、抛物线）小题综合
椭圆的离心率及其应用
1．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.
【详解】由，得，因此，而，所以.
故选：A
2．（2022·全国·甲卷高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解.
【详解】解：因为离心率，解得，，
分别为C的左右顶点，则，
B为上顶点，所以.
所以，因为
所以，将代入，解得，
故椭圆的方程为.
故选：B.
3．（2022·全国甲卷·高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
【详解】[方法一]：设而不求
设，则
则由得：，
由，得，
所以，即，
所以椭圆的离心率，故选A.
[方法二]：第三定义
设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：
故，
由椭圆第三定义得：，
故
所以椭圆的离心率，故选A.
4．（2021·全国乙卷·高考真题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，由，根据两点间的距离公式表示出，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．
【详解】设，由，因为，，所以
，
因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即；
当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．
5．（2021·浙江·高考真题）已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是，椭圆的离心率是.
【答案】
【分析】不妨假设，根据图形可知，，再根据同角三角函数基本关系即可求出；再根据椭圆的定义求出，即可求得离心率．
【详解】
如图所示：不妨假设，设切点为，
，
所以,由，所以，，
于是，即，所以．
故答案为：；．
6．（2019·北京·高考真题）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则
A．a2=2b2 B．3a2=4b2 C．a=2b D．3a=4b
【答案】B
【分析】由题意利用离心率的定义和的关系可得满足题意的等式.
【详解】椭圆的离心率,化简得,
故选B.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识?基本运算能力的考查.
7．（2018·北京·高考真题）已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为．
【答案】2
【分析】方法一：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中关系，即得双曲线N的离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，解得椭圆M的离心率.
【详解】［方法一］：【最优解】数形结合＋定义法
由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，所以椭圆M的离心率为
双曲线N的渐近线方程为，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为，
??
故答案为：；．
［方法二］：数形结合＋齐次式求离心率
设双曲线的一条渐近线与椭圆在第一象限的交点为，椭圆的右焦点为．由题可知，为正六边形相邻的两个顶点，所以（O为坐标原点）．
所以．因此双曲线的离心率．
由与联立解得．
因为是正三角形，所以，因此，可得．
将代入上式，化简、整理得，即，解得，（舍去）．
所以，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为2．
故答案为：；．
［方法三］：数形结合＋椭圆定义＋解焦点三角形
由条件知双曲线N在第一、三象限的渐近线方程为，于是双曲线N的离心率为．
设双曲线的一条渐近线与椭圆在第一象限的交点为A，椭圆的左、右焦点分别为．在中，．
由正弦定理得．
于是．
即椭圆的离心率．
故答案为：；．
【整体点评】方法一：直接根据椭圆的定义以及正六边形性质求解，是该题的最优解；
方法二：利用正六边形性质求出双曲线的离心率，根据平面几何条件创建齐次式求出椭圆的离心率，运算较为复杂；
方法三：利用正六边形性质求出双曲线的离心率，再根据通过解焦点三角形求椭圆离心率．
8．