第
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三角恒等变换（选填题）
年份
题号
分值
题干
考点
2024年新高考I卷
4
5
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（????）
A． B．
C． D．
三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系；用和、差角的余弦公式化简、求值
2024年新高考II卷
13
5
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则.
用和、差角的正切公式化简、求值
2023年新高考I卷
8
5
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（????）．
B．
C． D．
给值求值型问题；用和、差角的正弦公式化简、求值；二倍角的余弦公式
2023年新高考II卷
7
5
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（????）．
B．
C． D．
二倍角的余弦公式；半角公式
2022年新高考II卷
6
5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若，则（????）
A．B．
C．D．
用和、差角的余弦公式化简、求值；用和、差角的正弦公式化简、求值
近三年新高考数学三角恒等变换选填题考查情况总结
1.考点：聚焦三角函数化简求值，涉及和、差角公式（2024年新课标Ⅰ卷）、正切公式（2024年新课标Ⅱ卷）、二倍角公式（2023年新课标Ⅰ卷）、半角公式（2023年新课标Ⅱ卷）等。
2.题型：以选择题为主，分值5分，侧重考查公式的灵活运用与化简求值能力。
1.题型与分值：预计为选择题或填空题，分值5-6分。
2.考查方向：延续对和差角、二倍角等公式的考查，可能与其他知识结合，注重公式的灵活运用，考查化简求值问题。
正弦的和差公式
，
余弦的和差公式
，
正切的和差公式
，
正弦的倍角公式
余弦的倍角公式
升幂公式：，
降幂公式：，
正切的倍角公式
推导公式
辅助角公式
，，其中，
典例1
（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值.
【详解】因为，所以，而，
所以，故即，
从而，故，故选：A.
典例2
（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则.
【答案】
【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.
【详解】法一：由题意得，
因为，，则，，又因为，则，，则，则，联立，解得.
法二：因为为第一象限角，为第三象限角，则,
，，
则
故答案为：.
典例3
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（????）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因为，而，因此，
则，所以.
故选：B
【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法
（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．
（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
典例4
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（????）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【详解】因为，而为锐角，解得：．
故选：D．
典例5
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若，则（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】[方法一]：直接法
由已知得：,
即：，即：
所以故选：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:设β=0则sinα+cosα=0，取，排除A,B；再取α=0则sinβ+cosβ=2sinβ，取β，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换
所以
即
故选：C.
【名校预测·第一题】（河南省郑州外国语学校2024-2025学年高三调研考试）
已知，，则（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【来源】河南省郑州外国语学校2024-2025学年高三调研考试（十）数学试卷
【分析】先切化弦，得到，再结合两角和与差的正弦公式可求值.
【详解】由.
由.由.
所以.故选：B
【名校预测·第二题】