第
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数列（解答题）
年份
题号
分值
题干
考点
2023年新高考I卷
20
12
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
(1)若，求的通项公式；
(2)若为等差数列，且，求．
等差数列通项公式的基本量计算；利用等差数列的性质计算；等差数列前n项和的基本量计算
2023年新高考II卷
18
12
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
利用定义求等差数列通项公式；分组（并项）法求和；等差数列通项公式的基本量计算；求等差数列前n项和
2022年新高考I卷
17
10
（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
裂项相消法求和；累乘法求数列通项；利用与关系求通项或项；利用等差数列通项公式求数列中的项
2022年新高考II卷
17
10
（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
等差数列通项公式的基本量计算；等比数列通项公式的基本量计算；数列不等式能成立（有解）问题
近三年新高考数学数列解答题考查情况总结
1.考点方面
数列基本量计算：等差数列通项公式前项和公式的基本量计算是核心。如2023年新课标I卷、Ⅱ卷，2022年新高考卷均涉及。数列通顶公式求解：利用定义法（如等差数列定义）、与的关系(求通项。如2022年新高考I卷通过为等差数列求通项。
数列求和与综合：分组求和（如2023年新课标II卷)、裂项相消法（如2022年新高考I卷证明不等式)；数列与不等式结合（如证明。
2.题目设置方面
通常设置两问，第一问求数列通项公式，第二问求和或证明不等式、比较大小（如2023年新课标卷证明时整体考点稳定，注重对数列基本公式、方法的理解与运用，兼顾计算能力和逻辑推理能力的考查。
题型与分值：预计以一道解答题（分值约12-17分）呈现，设置两问，梯度分明。?
考查方向?
数列基本性质：等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式仍是考查重点，可能结合递推关系求通项。?
数列求和方法：裂项相消法、分组求和法、错位相减法等仍会考查，尤其裂项相消在证明不等式或求和中出现概率高。?
综合应用：数列与不等式的综合（如证明数列和的范围、不等式恒成立求参数），或与函数结合考查数列的单调性、最值。?
计算与推理：注重基本概念与公式的灵活运用，第二问可能设置一定计算量或推理过程，如通过数列求和证明不等式，考查逻辑严谨性和运算准确性。
等差数列通项公式：或
等比数列通项公式：
通项公式的构造
（1）已知，我们可以用待定系数法构造，从而转化为我们熟悉的等比数列求解
（2）已知用求通项
（3）已知用求通项公式，其本质是除以一个指数式
（4）已知用求通项公式，其本质是待定系数法
（5）已知用求通项公式，其本质是除以
（6）已知用求通项公式，其本质是取到数
（7）已知用求通项公式，其本质是取对数
的类型，公式
数列求和的常用方法：
对于等差、等比数列，利用公式法可直接求解；
等差数列求和，等比数列求和
对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；
为公差为d的等差数列，为公比为q的等比数列，若数列满足，则数列的前n项和为
（3）对于结构，利用分组求和法；
（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.
或通项公式为形式的数列，利用裂项相消法求和.即
常见的裂项技巧：
；
；
指数型；
对数型.
等
典例1
（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
(1)若，求的通项公式；
(2)若为等差数列，且，求．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可；
（2）由为等差数列得出或，再由等差数列的性质可得，分类讨论即可得解.
【详解】（1），，解得，，
又，，即，解得或（舍去），
.
（2）为等差数列，，即，
，即，解得或，
，，又，由等差数列性质知，，即，
，即，解得或（舍去）
当时，，解得，与矛盾，无解；
当时，，解得.
综上，.
典例2
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差