鹰潭市2025届高三第一次模拟考试
数学试卷
命题人：黄鹤飞鹰潭市第一中学审题人：李麟贵溪市第一中学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页.时间120分钟.满分150分.
第I卷选择题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂在答题卡上.
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由对数函数的定义域，建立不等式，求得集合，利用交集，可得答案.
【详解】由
，
则.
故选：C.
2.已知i是虚数单位，复数满足，那么的虚部是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数除法法则计算出，得到虚部.
【详解】，
故的虚部是.
故选：A
3.已知向量，，若且，则实数（）
A. B.3 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量线性运算与数量积的坐标表示，根据向量垂直，建立方程，解根并验根，可得答案.
【详解】由题意可得，，
由，则，
可得，解得，
当时，，；
当时，，.
故选：B.
4.已知，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由条件求得，进而得到，再由余弦二倍角公式即可求解.
【详解】由，可得：，
又，所以，
所以，
所以，
故选：A
5.已知直线：和：相交于点，则点的轨迹方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得两直线位置关系以及其所过定点，根据圆的方程，可得答案.
【详解】由，则，
由，则直线过定点，
由，则直线过定点，
易知动点的轨迹为为直径的圆，圆心，半径，
由题意易知直线的斜率存在，则交点不能是，
则动点的轨迹方程为.
故选：C.
6.已知，随机变量，若，则的值为（）
A.81 B.242 C.243 D.80
【答案】B
【解析】
【分析】根据正态分布求出、的值，并求出、的表达式，根据题中条件求出的值，利用赋值法可得出结果.
【详解】因为随机变量，则，，
因为，
则，，
所以，，解得，
令，
所以，，
故.
故选：B.
7.过椭圆上的点作圆的两条切线，切点分别为，.若直线在轴，轴上的截距分别为，，若，则椭圆离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设出相关点的坐标，借助向量垂直关系的坐标表示求出直线方程，进而求出，再代入，得到，即可求出离心率.
【详解】设，则，即，
又，
令坐标原点为，，
因为切圆于，所以，
则，所以，
同理可得，因此直线的方程为，则，
因此，即，
所以椭圆离心率.
故选：C.
8.数列满足，，给出下列四个结论：
①存正整数，且，使得；
②存在，使得，，成等比数列；
③存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列；
④
其中所有证确结论的是（）
A.②③ B.③④ C.①②④ D.①③④
【答案】D
【解析】
【分析】对于①，求得，判断；对于②，利用反证法，推出矛盾，判断；对于③，利用递推公式得到，求出存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列，判断；对于④，因为，则，算出，判断.
【详解】对于①，由题意知数列中的项：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，…，
可得，故①正确；
对于②，若存在，使得，，成等比数列，
则，又，即，解得，
由，，
得，且为整数，
所以，这与相邻两项为整数矛盾，故②错误；
对于③，因为，，，
所以，所以，则，，成等差数列，
故存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列，故③正确；
对于④，因为，则，
则
，故④正确；
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知变量和变量的一组成对样本数据的散点落在一条直线附近，，，相关系数为，线性回归方程为，则（）
参考公式：，
A.当时，成对样本数据成线性正相关；
B.当越大时，成对样本数据的线性相关程度越强；
C.，时，成对样本数据的相关系数满足；
D.，时，成对样本数据的线性回归方程满足；
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据相关系数的正负、绝对值大小与变量相关性之间关系可知AB正误；根据，，代入相关系数和最小二乘法公式中，可知CD正误.
【详解】对于A，当时，成对样本数据成线性正相关，A正确；
对于B，当越大时，成对样本数据的线性相关程度越强；
当，时，对应的样本数据的线性相关程度更强，B错误；
对于C，当，时，不变且，
，C正确；