2024年高考押题预测卷01【天津卷】
数学·参考答案
一、单项选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
D
B
C
A
B
B
D
C
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．
10． 11．-560 12． 13．；
14．； 15．
三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分14分）
【解】（1）在中，由正弦定理，，，
可得，
因为，所以，即，
显然，解得．
（2）在中，由余弦定理，
得，解得或．
由已知，，互不相等，所以，
所以．
（3）因为，所以，
所以，，
所以.
17．（本小题满分15分）
【解】（1）取中点，连接，如图
由为的中点，所以//且
又，且，
所以//且，
故//且，
所以四变形为平行四边形，故//
又平面，平面
所以//平面
（2）由，平面
平面平面，
平面平面
所以平面，又平面
所以，由，
所以为正三角形，所以
则平面
所以平面，且
所以点到面的距离即
（3）作交于点，
作交于点，连接
由平面平面，平面平面
平面平面，
所以平面，平面，
所以，又
平面，所以平面
又平面，所以
所以二面角平面角为
，又为等腰直角三角形
所以，所以
所以
又二面角平面角为
故
所以二面角平面角的正弦值为
18．（本小题满分15分）
【解】（1）由题设得，解得，，，
所以椭圆的方程为.
（2）由，得，
由，得，
设、，则，，
所以点的横坐标，纵坐标，
所以直线的方程为，
令，则点的纵坐标，则，
因为，所以点、点在原点两侧，
因为，所以，所以，
又因为
，
所以，
解得，所以.
19．（本小题满分15分）
【解】（1），令，则，
令，则；由①，
当时，②，
由①②得，当时，，
所以数列和数列是等比数列.
因为，所以，
所以，因此，
从而，所以数列是“型数列”.
（2）（i）因为数列的各项均为正整数，且为“G型数列”，
所以，所以，因此数列递增.又，
所以，因此递增，
所以公比.又不是“型数列”，所以存在，
使得，所以，又公比为正整数，
所以，又，所以，则.
（ii），
因为，所以，
所以，令，当时，，
当时，
20．（本小题满分16分）
【解】（1），
则，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2）（i），
，
∵时，取得极值，∴，解得，
∴，
令，得或；令，得，
∴的单调增区间为，，单调减区间为；
（ii），
∵存在两个极值点，
∴方程，即在上有两个不等实根.
∵，解得，
则
∴所证不等式等价于，
即，
不妨设，即证，
令，，
则，
∴在上递增，∴，
∴成立，
∴.