2024年高考押题预测卷03【全国卷】
数学（文科）·参考答案
第一部分（选择题共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
B
C
A
A
C
D
B
B
B
C
B
第二部分（非选择题共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．14．/15．16．
三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选做题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分.
17．（12分）
【详解】（1）平均数，
由，，
故中位数位于，设中位数为，则有，解得,
即平均数，中位数；
（2），
故有99.5%的把握认为能否获得“亚运达人”称号与性别有关.
18．（12分）
【详解】（1）因为成等比数列，且，
所以，由，解得，
所以.
（2）由，
得，
由，有，所以，得.
19．（12分）
【详解】（1）在等腰梯形中，因为，
所以，，
所以，所以．
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面．
又平面，所以．
又平面，所以平面．
又平面，所以平面平面．
（2）如图，过点作于点，由（1）可知平面平面，
又平面平面平面，所以平面，故．
在中，，所以．
在中，，所以．
又，所以，即四棱锥的高为1．
由题意知，梯形的高为，所以梯形的面积为，
所以四棱锥的体积为．
（12分）
【详解】（1）由可得，
则，所以曲线在点处的切线斜率为，
又因为，所以切线方程为：，即.
所以.
（2）要证明，只要证，
设，则，
令，则，
所以在上单调递减，又，
所以当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
所以，所以.
21．（12分）
【详解】（1）由题意知，
所以的方程为
直线的倾斜角为，过点直线的方程为
设，联立，
得
与互相垂直的倾斜角为由对称性可知
??
（2）方法一：由题意可知的斜率存在且不为0，设的方程分别为由互相垂直可得①
联立得②
联立，
整理得
是的中点③
由②③得，即④
同理联立得⑤
由①④⑤得
⑥
联立，
得
取中点，所以⑦
由⑥⑦得与重合，即是中点.
方法二：由题意可知的斜率存在且不为0，设的方程分别为
由互相垂直可得
设的坐标分别为
联立，
得，又
是的中点
整理可得的中点
又直线恒过定点，
，
同理
三点共线
所以的中点在上，又上的点在上
所以与重合，即是中点
方法三：由题意可知的斜率存在且不为0，设的方程分别为
由互相垂直可得①
联立得，所以②
设的坐标分别为，代入得
两式相减得，
变形为，即③
由②③得，即④
同理联立得，
所以⑤
由①④⑤得，
所以⑥
取中点，同理可证⑦
由⑥⑦得.
结合均在直线上，所以与重合，即是中点.
??
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做。则按所做的第一题记分.
22．（10分）
【详解】（1）由题设曲线的参数方程，消参得，
由，且得，，化简得，
C的普通方程为，l直角坐标方程为.
（2）当时，，易知，设，
可得，（a是参数），
消参得方程为且，
则圆心距离得，
则两圆相交，故两圆存在公共点，联立方程组，
解得或，故坐标为.
23．（10分）
【详解】（1）不存在，，，使得.理由如下：
因为，，都是正数，且，所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
即的最小值为，
所以不存在，，，使得.
（2）因为
，当且仅当时等号成立，
所以.