2024年高考押题预测卷03【全国卷】
数学（理科）·全解全析
第一部分（选择题共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
D
B
C
C
B
B
D
D
B
A
A
1．【答案】D
【详解】因为，，所以，
所以集合的真子集的个数为.
故选:D.
2．【答案】D
【详解】由题意，可化为，
所以，
所以在复平面内对应的点的坐标为，
所以复数在复平面内对应的点在第四象限．
故选：D．
3．【答案】B
【详解】由题意，则，而或，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
4．【答案】C
【详解】由题意得，若输出的的值为4，则，或，或，
解得或或，所以输入的的可能值有3个.故选：C
5．【答案】C
【详解】先将5名志愿者分成3组，第一类分法是3，1，1，第二类分法是2，2，1，再分配到三项活动中，总方法数为，
因甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同，故只需先把甲,乙,丙三人在三项活动上安排好，再让丁，戊两人分别在三项活动中选择，
其方法数为.故甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为．
故选:C．
6．【答案】B
【详解】成等比数列．，
即，
．
，公比为，
故选：B．
7．【答案】B
【详解】如图，当点是的中点时，此时，最短，最小值为，
当点与点或点重合时，此时最长，最大值为2，
因为是圆的切线，所以，，
则四边形的面积为，
所以四边形的面积的最小值为，最大值为，故①②正确；
,
，
，，
设，函数单调递增，最小值为0，最大值为，故③错误，④正确.
故选：B
8．【答案】D
【详解】，
令，得，
因为，所以，
若在上有且仅有4个零点，则，解得，
令，得，因为，
所以．当，
当，当，只有D符合.
故选：D．
9．【答案】D
【详解】由题意知，定义域为，
当时，，由指数函数的单调性可知函数单调递增，可对应①；
当时，，令可得：，所以当时，，当时，，所以，函数先减后增，且当时，，此时可对应②；
当时，，当时，当时，，当时，，所以，函数先增后减，
当时，，且此时，所以可对应③，
当时，，此时，所以可对应④.
故选：D.
10．【答案】B
【详解】
如图，令四棱锥的底面边长为，高为，三棱柱的高为，
所以三棱柱的体积为，
长方体的体积为，因为四个三棱柱的体积之和等于长方体的体积，
所以，所以，
因为四棱锥的体积为，
所以四棱锥与三棱柱的体积之比为.
故选：B.
11．【答案】A
【详解】
设，则，而，所以，
所以点到的距离为，
又，所以，
解得，即，从而，
又因为，
所以，
在中，由余弦定理有，
所以，即，
解得，双曲线C的渐近线方程为.
故选：A.
12．【答案】A
【详解】易知不是方程的根，
故当时，可化为，
令，得．
设，则，
令，可得或，令，可得，
故在和上单调递减，在上单调递增，，
作出的大致图象，如图，
数形结合可得方程有两个不相等的实数根，设为，，
则，且，
则，解得，
不妨设，
则
，
由，可得.
故选：A．
第二部分（非选择题共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．【答案】
【详解】观察频率分布直方图，得数学成绩在区间的频率为，
数学成绩在区间的频率为，
因此数学成绩的中位数，且，解得，
所以这次考试数学成绩的中位数的估计值为.
故答案为：
14．【答案】
【详解】当时，，则，此时，所以，
所以.
故答案为：
15．【答案】
【详解】画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，
设，可得，
结合图象可得，当直线经过点时，直线在轴上的截距最小，
即取得最小值，即目标函数取得最小值，
又由，解得，所以.
故答案为：.
??
16．【答案】
【详解】由题意可设圆台的高为，上、下底面半径分别为，
球的半径为，因为，
所以，
所以，
得，
则，
所以，，
所以球的体积为．
故答案为：.
三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选做题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分.
17．（12分）
【详解】（Ⅰ）在△ABC中，∵bcosC+csinB＝0，
∴由正弦定理知，sinBcosC+sinCsinB＝0
∵0＜B＜π，
∴sinB＞0，于是cosC+sinC＝0，即tanC＝﹣1
∵0＜C＜π
∴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）和余弦定理知，，
∴c＝5，
∴，
设BC的中垂线交BC于点E，
∵在Rt△BCD中，，
∴．
18．（12分）
【详解】（1）如图，取的中点，连接交于点，连接，
因为是的中点，是的中点，
所以，所以四边形是平行四边形，所以，
又平面平面，所以平面.
（2）因为，平