2024年高考押题预测卷03【全国卷】
数学（理科）·参考答案
第一部分（选择题共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
D
B
C
C
B
B
D
D
B
A
A
第二部分（非选择题共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．14．15．16．
三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选做题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分.
17．（12分）
【详解】（Ⅰ）在△ABC中，∵bcosC+csinB＝0，
∴由正弦定理知，sinBcosC+sinCsinB＝0
∵0＜B＜π，
∴sinB＞0，于是cosC+sinC＝0，即tanC＝﹣1
∵0＜C＜π
∴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）和余弦定理知，，
∴c＝5，
∴，
设BC的中垂线交BC于点E，
∵在Rt△BCD中，，
∴．
18．（12分）
【详解】（1）如图，取的中点，连接交于点，连接，
因为是的中点，是的中点，
所以，所以四边形是平行四边形，所以，
又平面平面，所以平面.
（2）因为，平面平面，平面平面平面，
所以平面，
所以直线与平面所成的角为，则，
在中，不妨设，则，连接，
因为，所以.
又平面平面，所以平面平面，
且平面平面平面，故平面.
设的中点为，连接，
以为坐标原点，所在直线分别为轴?轴?轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
则，，
设平面的法向量为，则，即，
不妨取，则有，
易知平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
19．（12分）
【详解】（1）传球的过程中，不考虑第四次传给谁，有种；
传球的过程中不传给甲，第四次传给甲，有种，
传球的过程中传给甲，有种；
故传球次，球又回到甲手中的概率为.
（2）根据题意可得，
，，
，
故的分布列如下所示：
则.
（3）次传球后，乙、丙、丁三人中被传到球，有两种情况：
第一种，时，次传球后，此人均接过他人传球，则其概率为；
第二种，时，次传球后，此人中只有人接过他人传球，则第次传球时将球传给剩余的1人，
其概率为：；
所以当时，，
故，因为，.
所以数列从第3项起构成等比数列，
，则.
20．（12分）
【详解】（1）由，所以，设，，
，
，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）如图，设，，，，
，解得，
所以点的坐标为.
由题意直线的斜率不为0，设，，，
联立，消去整理得，
则，，，
因为，所以，
即，整理得，
将，代入上式，
，满足，
所以直线为，恒过定点.
??
21．（12分）
【详解】（1）因为，所以，
当时，，函数在上单调递增；
当时，由，得，
函数在区间上单调递增，
由，得，函数在区间上单调递减．
（2）要证，即证，
即证，
设，
故在上单调递增，又，所以，
又因为，所以，
所以，
①当时，因为，所以；
②当时，令，则，
设，则，设，
则，因为，所以，
所以即在上单调递增，
所以，所以在上单调递增，
所以，即，
所以在上单调递增，，
即．
综上可知，当时，，
即．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做。则按所做的第一题记分.
22．（10分）
【详解】（1）由曲线的参数方程为，（为参数），可得其普通方程，
由，得曲线的极坐标方程.
，
由，得曲线的直角坐标方程.
（2）将代入，
得.
将逆时针旋转，得的极坐标方程为，代入曲线的极坐标方程，得.
由，得，.
即，解得.
因为，所以.
23．（10分）
【详解】（1）.
即，或，或
解得或，
所以原不等式的解集为或.
（2）证明：由（1）知当时，有最小值，
所以，.
因为，
所以，
因为，，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当，时取等号.