2024年高考押题预测卷
数学
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知随机变量，则（????）
A．15 B．20 C．5 D．10
2．已知椭圆的离心率为，则的焦点坐标为（????）
A． B． C． D．
3．已知为等差数列，为其前n项和.若，公差，则m的值为（????）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．已知直线和平面，则下列判断中正确的是（????）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有（????）
A．18种 B．24种 C．36种 D．72种
6．已知圆，若圆上存在点使得，则的取值范围为（????）
A． B． C． D．
7．已知，则（????）
A． B． C． D．
8．设是双曲线的左、右焦点，点A是双曲线C右支上一点，若的内切圆M的半径为a（M为圆心），且，使得，则双曲线C的离心率为（????）
A． B． C．2 D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数是偶函数，将的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象．若曲线的两个相邻对称中心之间的距离为，则（????）
A．
B．的图象关于直线对称
C．的图象关于点对称
D．若，则在区间上的最大值为
10．设为复数，下列命题正确的是（????）
A． B．
C．若，则为纯虚数 D．若，且，则
11．已知函数的定义域为，且，都有，，，，当时，，则下列说法正确的是（????）
A．函数的图象关于点对称
B．
C．
D．函数与函数的图象有8个不同的公共点
第二部分（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知集合，若集合恰有两个元素，则实数的取值范围是.
13．某冰淇淋门面店将上半部是半球（半球的半径为3），下半部是倒立的圆锥（圆锥的高为6）的冰淇淋模型放到椐窗内展览，托盘是边长为12的等边三角形ABC金属片沿三边中点D，E，F的连线向上折叠成直二面角而成，则半球面上的最高点到平面DEF的距离为．
14．已知，则使不等式能成立的正整数的最大值为．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）小张参加某公司的招聘考试，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张需要通过“抽小球”的方式决定要答的题目难度类型：一个箱子里装有质地，大小一样的5个球，3个标有字母A，另外2个标有字母B，小张从中任取3个小球，若取出的球比球多，则答类题，否则答类题．
(1)设小张抽到球的个数为，求的分布列及．
(2)已知A类题里有4道论述题和1道计算题，B类题里有3道论述题和2道计算题，小张确定题目的难度类型后需要从相应题目中任选一道题回答．求小张回答论述题的概率；
16．（15分）已知函数是定义在上的偶函数.
(1)求实数的值；
(2)请问是否存在正数，使得当时，函数的值域为，若存在这样的正数，请求出的值；若不存在，请说明理由.
17．（15分）正方形的边长为，分别为边的中点，是线段的中点，如图，把正方形沿折起，设．
(1)求证：无论取何值，与不可能垂直；
(2)设二面角的大小为，当时，求的值．
18．（17分）已知O为坐标原点，抛物线，过点的直线交抛物线于A，B两点，．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点，连接AD，BD，证明：；
(3)已知圆G以G为圆心，1为半径，过A作圆G的两条切线，与y轴分别交于点M，N且M，N位于x轴两侧，求面积的最小值．
19．（17分）欧拉函数在密码学中有重要的应用．设n为正整数，集合，欧拉函数的值等于集合中与n互质的正整数的个数；记表示x除以y的余数（x和y均为正整数），
(1)求和；
(2)现有三个素数p，q，，，存在正整数d满足；已知对素数a和，均有，证明：若，则；
(3)设n为两个未知素数的乘积，，为另两个更大的已知素数，且；又，，，试用，