2024年高考押题预测卷【广东专用02】
数学·参考答案
第一部分（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
D
C
B
D
B
A
D
C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9
10
11
BCD
BCD
CD
第二部分（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
13．30 14． 15．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
【解析】（1）由题意可知，点在线段的垂直平分线上，所以，
又点是圆上一动点，所以．（2分）
①当时，；
②当时，，
所以的轨迹满足，（5分）
根据双曲线定义可知，点的轨迹是以为左?右焦点，实轴长为的双曲线，
可得，所以的轨迹的方程为．（7分）
（2）设，所以，（8分）
因为直线的斜率为，所以，即，（10分）
与联立解得（舍去）或3．（12分）
所以点的坐标为．（13分）
16．（15分）
【解析】（1）因为，，
所以根据余弦定理可得，
代入数值解得，
所以，所以.（2分）
又因为，M是BC的中点，
所以，，
所以在中，，，（4分）
解得，
所以，所以.
因为，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，（5分）
而平面，所以.
又，，平面，平面，
所以平面，
而平面，所以.（7分）
（2）由（1）得，平面，，
所以以为原点，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
所以，，，，（9分）
根据三棱柱的性质可知，.
假设存在符合题意的点，
所以设
所以，
设平面的法向量为，
由，得到，取，所以，（12分）
所以平面的法向量为
而且平面的法向量为，
因为二面角的正弦值为，所以二面角的余弦值为，（13分）
所以，解得，
又因为，所以，
此时，所以.
综上，在棱上存在点P，使得二面角的正弦值为，的长度为.（15分）
17．（15分）
【解析】（1）由题意可知这2人恰好来自不同年级的概率是；（5分）
（2）由题意可知，（6分）
所以，
显然时，，即单调递减；
时，，即单调递增；
则时，取得最大值，（9分）
由题意可知的可能取值为，（10分）
则，
，
，
，（13分）
则其分布列为：
X
0
1
2
3
P
所以.（15分）
18．（17分）
【解析】（1）对求导得.（1分）
当时，对有，故在上单调递增；
当时，有，而当时，，故当时，当时，从而在上单调递增，在上单调递减.（5分）
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.（6分）
（2）若，由于，故存在正数使得，条件满足；
若，则由（1）的结论，知在上单调递增，在上单调递减，从而此时对任意的都有，条件不满足.
综上，的取值范围是.（9分）
（3）设，，我们分唯一性和存在性两方面来证明.
唯一性：由，知的导数等于，而，故显然恒为负，从而在上单调递减.（10分）
特别地，在上单调递减.
这表明，使得的至多有一个，从而唯一性得证.
存在性：我们先考虑函数，这里.由于，故当时，当时，从而在上单调递减，在上单调递增，从而对于任意的，都有，即.（12分）
这就得到，对任意，有.
从而，对任意的，都有；而对任意的，都有.
然后回到原题，首先我们有
.
同时我们又有
，
，（15分）
故.
由零点存在定理，知一定存在，使得.
综合上述的存在性和唯一性两个方面，知存在唯一的，使得.（17分）
19．（17分）
【解析】（1）因为关于单调递增，
所以，（2分）
，
于是，
的前项和．（5分）
（2）由题意可知，，
所以，（7分）
因此，即是单调递增数列，且，
由“生成数列”的定义可得．（9分）
（3）若是等差数列，证明：存在正整数，当时，是等差数列．
当是一个常数列，则其公差必等于0，，
则，因此是常数列，也即为等差数列；（12分）
当是一个非常数的等差数列，则其公差必大于0，，
所以要么，要么，
又因为是由正整数组成的数列，所以不可能一直递减，（14分）
记，则当时，有，
于是当时，，
故当时，，…，（16分）
因此存在正整数，当时，，…是等差数列．
综上，命题得证．（17分）