2024年高考押题预测卷03【北京卷】
数学·全解全析
第一部分（选择题共40分）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
C
B
C
B
A
C
C
C
C
1．【答案】D
【分析】根据并集的运算可得答案.
【详解】因为，，所以
故选：D
2．【答案】C
【分析】由等差数列的通项公式代入方程组可求得首项和公差，代入求解即可.
【详解】∵为等差数列，
∴
∴，
∴
故选：C.
3．【答案】B
【分析】根据双曲线离心率的公式，结合双曲线的渐近线方程、点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】由离心率，解出；
由，所以渐近线方程为，焦点坐标为．
所以焦点到渐近线的距离为．
故选：B
4．【答案】C
【分析】分别求解与中x的系数再求和等于13以及即可得的值，再求解的系数即可.
【详解】由题可知，，即，又，故或.
当时，，则的系数为；
当时，，则的系数为.
故的系数为31或40.
故选：C
5．【答案】B
【分析】根据向量的坐标运算得到，得到答案.
【详解】，故.
故选：.
6．【答案】A
【分析】由题可得当时，，即得.
【详解】由题可知，，，
∴当时，，
∴当秒时，地震动时程强度包络函数值是.
故选：A.
7．【答案】C
【分析】求得直线恒过的定点，找出弦长取得最值的状态，利用弦长公式求解即可.
【详解】因为直线方程为：，整理得，
故该直线恒过定点，又12+
故点在圆内，
又圆的圆心为N2,0
则，此时直线过圆心；
当直线与直线垂直时，取得最小值，
此时.
故的取值范围为.
故选：.
8．【答案】C
【分析】分与讨论，即可判断A，当时，即可判断B，由命题的充分性以及必要性，即可判断CD.
【详解】对A，当时，即时，原不等式变为，显然成立，符合题意；
当时，即，因为对于任意实数x，不等式
恒成立，
则，
解得；
综上可得，故A错误；
对B，当时，，则，
当且仅当时，即时，取等号，故B错误；
对C，因为可以推出，故充分性满足，
由推不出，比如，故必要性不满足；
所以“”的一个充分不必要条件是“，”，故C正确；
对D，由不能推出，比如，
反之，由可以推出，
所以“”的充分不必要条件是“”，故D错误；、
故选：C
9．【答案】C
【分析】利用正弦定理求得外接圆半径，根据三棱锥图像，分别表示出，，然后利用勾股定理，解得，进而利用球体的体积公式即可得出答案.
【详解】在中，，，
根据三角形的外接圆半径公式，
可得的外接圆半径，
如图所示．
设点在平面内的投影的为，则，
在中，
因为，解得，
设三棱锥的外接球半径，
即，，
在中，由勾股定理得，
即，解得，
故三棱锥的外接球半径，
根据球体的体积公式.
故选：C
10．【答案】C
【分析】令求出，进而令，求出，①正确；
假设为等比数列，得到，代入验证，故②错误；
逻辑分析及反证可得，③④正确.
【详解】当时，，
因为数列的各项均为正数，所以，
当时，，
由数列的各项均为正数，解得：，①正确；
若为等比数列，则，解得：，
将代入，
故不是等比数列，②错误；
因为数列的各项均为正数，故必单调递增，而，
所以单调递减，③正确；
假设的所有项大于等于，取，则，，
则与已知矛盾，故④正确.
故选：C
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．【答案】2
【分析】直接利用复数除法的运算法则，化简复数，根据实部的定义即可得结果.
【详解】因为，复数的实部为，
，解得.
故答案为:.
12．【答案】
【分析】利用同角三角函数的基本关系式及角所在的象限求出正弦函数值，求解即可．
【详解】∵第四象限角，，∴，
故答案为.
13．【答案】
【分析】先求得抛物线的焦点为，根据题意，列出方程，即可求解.
【详解】由抛物线可化为，可得其焦点为，
因为抛物线的焦点到直线的距离为，可得，
解得或（舍去），故实数的值为．
故答案为：.
14．【答案】
【分析】换元令,进而得函数解析式，再求解函数值即可..
【详解】解：令，则,
故,即
所以
故答案为：
15．【答案】
【分析】由已知得，则有，可得数列为等比数列，求和即可.
【详解】，则，
依题意可知，
所以，
故，即，
且，所以（常数），
故是以为首项，以2为公比的等比数列，
所以．
故答案为：
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．（14分）【答案】(1)证明见解析(2)存在；或
【分析】（1）根据底面菱形的特点得到，再由线面垂直得到，平面，进而得到面面垂直；
（2）建立空间坐标系得到线面角的表达式，求解即可.
【详解】（1）证明：连接，
因为底面为菱形，，
所以