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2025北京高三二模数学汇编
压轴填空（第15题）
一、填空题
1．（2025北京东城高三二模）已知曲线.给出下列四个结论：
①曲线为中心对称图形；
②曲线与直线有两个交点；
③曲线恰好经过两个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
④曲线上任意两点，，当时，.其中正确结论的序号是.
2．（2025北京西城高三二模）数学中有许多形状优美，应用广泛的曲线．双纽线就是其中之一（如图），其定义为：在平面内，到两个定点和的距离之积为常数的点的轨迹．设为上一点，给出下列四个结论：
①；
②；
③若点在第一象限，则；
④的周长可以等于．
其中，所有正确结论的序号是．
3．（2025北京海淀高三二模）如图，在正方体中，，、为上底面（包含边界）内的两个动点，且满足，．给出下面四个结论：
①当与重合时，五面体的体积为；
②记直线分别与平面和平面所成角为、，则的值不变；
③存在、，使得；
④存在、，使得五面体中，所在平面与其余四个面所在平面的四个夹角中，有三个彼此相等．
其中，所有正确结论的序号为．
4．（2025北京朝阳高三二模）设，过原点的直线（不与轴重合）与圆交于点P与直线交于点．过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，这两条直线交于点，称为的箕舌线函数，记作，给出下列四个结论：
①函数的图象关于y轴对称；
②若，则；
③设函数，则的最大值为；
④设函数，则的最小值为．
其中所有正确结论的序号是．
5．（2025北京丰台高三二模）已知数列满足，给出下列四个结论：
①存在唯一的正实数，使得是常数列；
②当时，是等比数列；
③若是递增数列，则；
④若对任意的正整数，都有，则．
其中所有正确结论的序号为．
6．（2025北京昌平高三二模）已知曲线，给出下列四个结论：
①曲线关于轴对称；
②当时，曲线上任意一点到点，的距离均不超过；
③曲线与直线围成图形的面积小于5；
④经过点且与平行的直线与曲线的所有交点的横、纵坐标均为有理数．
其中所有正确结论的序号是．
参考答案
1．①③
【分析】对于①，将假设曲线的对称中心为代入曲线化简后通过对照系数，如果能求出，则说明曲线为中心对称图形；对于②，联立方程求解即可；对于③，对方程进行变形，通过分析可知必须为整数，故或，对应的整数点有两个；对于④，三点共线时取得最小值，因此先求出的取值范围即可判断④.
【详解】对于①，假设曲线的对称中心为，将对称点代入原方程：
，
整理得，
与原方程比较系数，有，解得，
说明曲线关于点对称，故①正确；
对于②，联立与，
消去并整理可得，此时，
故曲线与直线有一个交点，故②错误；
对于③，当时，原方程不成立，故曲线可变形为，
若横、纵坐标均为整数，则必须为整数，故或；
当时，，当时，，
故曲线恰好经过两个整点和，故③正确；
对于④，由③可知，
因为，
令，，，
，
当且仅当即时等号成立，
同理，
由①知曲线关于点成中心对称，所以当和都最小时，三点共线，
此时最小，所以，故④错误.
故选：①③
2．①②③
【分析】令，求得，可判定①正确；设，，结合，得到，可判定②正确；由，得到，可判定③正确；设，由余弦定理求得，得到，可判定④错误.
【详解】对于①中，由双纽线，
令，可得，解得或，所以，所以①正确；
对于②中，设，其中，且，
由，
因为，可得，可得，
所以，所以②正确；
对于③中，若点位于第一象限，要证，
即证，等价于，
由双纽线，可得，所以③正确；
对于④中，设，则三角形的周长为，
在中，由余弦定理得，
即，
即，所以，
即，所以，
因为，所以④错误.
故答案为：①②③.
3．①②④
【分析】利用锥体和柱体的体积公式可判断①；利用线面角的定义可判断②；以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断③；取点为的中点，利用空间向量法可判断④.
【详解】对于①，当与重合时，
，①对；
对于②，过点作分别交、于点、，连接、，
过点作分别交、于点、，连接、，
过点在平面内作，垂足为点，
因为，，则，且，故平面，
因为平面，平面，则，
又因为，，、平面，故平面，
故，同理可得，
所以，为定值，②对；
对于③，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、，设点，则，
则，，
所以，，
故不存在、，使得，③错；
对于④，不妨取点，则点，则、，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，可得，
易知平面的一个法向量为，
所以，，
故底面与平面夹角的余弦值为，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，则，
所以，，
即底面与平面所成夹角的余弦值为，
同理可知，底面与平面所成夹角的余弦值为，
此时，点为棱的中点，则平面平面，