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2025北京高三二模数学汇编
压轴解答题-新定义（第21题）
一、解答题
1．（2025北京东城高三二模）已知有穷整数数列，满足.记集合为，或，或，.若数列，则称数列是的“恒元”.
(1)已知数列，请写出中所有满足的数列；
(2)当时，是否存在数列满足，且是的“恒元”?若存在，请写出一个满足条件的数列；若不存在，请说明理由；
(3)当数列是的“恒元”时，若是个连续正整数的一个排列，求数列的项数的最大值.
2．（2025北京西城高三二模）已知项数列，对于给定，定义变换：将数列中的项替换为，其余项均保持不变，记得到的新数列为．其中，当时，；当时，；当时，．若将数列再进行上述变换，记得到的新数列为，重复操作，得到数列，并称为第一次变换，为第二次变换，?．
(1)若数列：，求数列和；
(2)设为递增数列，对进行有限次变换后得到数列．证明：为递增数列；
(3)当第次变换前后两个数列的首项乘积为负数时，令；否则．对于给定的项数列，进行2025次变换，证明：．
3．（2025北京海淀高三二模）记表示有穷集合的元素个数．已知是正整数，集合．若集合序列满足下列三个性质，则称是“平衡序列”：
①，其中；
②?，其中；
③对于中的任意两个不同元素，都存在唯一的，使得．
(1)设，判断下列两个集合序列是否是“平衡序列”？（结论不要求证明）
(2)已知且集合序列是“平衡序列”，对于，定义：证明：
（i）当时，；
（ii）．
4．（2025北京朝阳高三二模）已知是无穷正整数数列，且对任意的，其中表示有穷集合S的元素个数．
(1)若，求的所有可能取值；
(2)求证：数列中存在等于1的项；
(3)求证：存在，使得集合为无穷集合．
5．（2025北京丰台高三二模）设数列是的一个排列．由中连续项组成的集合称作“的长为的子列集”，其中．任取不大于的正整数，当时，若数列的任意长为的子列集和数列的任意长为的子列集，都有，则称数列为“好数列”．
(1)判断下列数列是否为“好数列”：
①1，3，5，2，4；②1，4，6，2，5，3．
(2)证明：由的排列构成的所有“好数列”中，存在首项不超过的“好数列”（表示不超过的最大整数）；
(3)若数列为“好数列”，求的最大值．
6．（2025北京昌平高三二模）设为正整数，数列是公差不为的等差数列，若从中去掉两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的个数都能构成等差数列，则称数列是的可分数列．
(1)写出所有，使得数列是、的可分数列；
(2)当时，证明：数列是的可分数列；
(3)若数列是的可分数列，记所有满足条件的的个数为，求的值．
参考答案
1．(1)；；；.
(2)不存在，理由见解析；
(3)7
【分析】（1）分析得，再写出满足题意的数列即可；
（2）假设存在满足条件的数列，则分析有是偶数，则得到与条件相反的结论，即可证明不存在；
（3）首先分析得当时，有，再分和讨论即可.
【详解】（1）因为数列，所以中的数列满足．因为，
所以中所有满足的数列有
；；；.
（2）假设存在满足条件的数列，
则满足，有，或，或．
所以与同为奇数或同为偶数．
所以是偶数．
所以是偶数．
又是奇数，矛盾．
所以假设不成立，不存在满足条件的数列．
（3）当数列是的“恒元”时，
因为数列中，是个连续正整数的一个排列，
所以当时，有，且至多一项为1．
不妨记，所以，且．
当时，.
当时，有.
此时，或．
又，所以，，或，．
①当时，有，或，所以，或者．
当时，有，，，，
所以，，.
因为，，所以．所以．
当时，有，，，，所以（舍）．
②当时，有，或，所以，或者．
当时，有，，，，
所以，，,
所以．
当时，有，，，，
所以．所以（舍）．
又由于数列和满足条件．
综上所述，．
2．(1)，
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题设中的新定义，进行运算，得到答案；
（2）根据题设中新的变换，得到仍为递增数列，进而得到仍为递增数列，证得仍为递增数列，以此类推，对进行有限次变换后，所得的数列为递增数列；
（3）设中相邻两项乘积为负数的有对，中相邻两项乘积为负数的有对，得到，得到数列中相邻两项乘积为负数的仍有对，分情况讨论，即可得证.
【详解】（1）解：由题意得，数列，数列，
故数列．
（2）证明：若对：进行变换，即将替换为，其余项不变，
由，得，故仍为递增数列；
若对进行变换，即将替换为，其余项不变，
由，很，故仍为递增数列：
若对进行变换，即将替换为，其余项不变，
由，得，故仍为递增数列．
综上，对于任意，对进行变换后仍为递增数列．
以此类推，知对进行有限次变换后，所得的数列为递增数列．
（3）解：记数列：中去除等于0的项后得到的数列为（其余项相对位置不变，下同），中去除为0的项后得到的数列为．
设中